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Symétries
1. Centre de symétrie de la courbe représentative d' une fonction
Soient f une fonction définie sur un domaine V1 de IR, et a et b deux réels tels que, pour
tout x de v 1 :
a + X E 1Jf et a - x E Vf
La courbe représentative Cf de f admet le point de coordonnées (a, b) comme centre de
symétrie si et seulement si, pour tout réel x de 1) f :
f(a + x) + f(a - x) = 2 b
Démonstration : Considérons un point M d'abscisse a + x appartenant à la courbe représentative Cf de f; son ordonnée est donc f(a + x).
Le point Q, de coordonnées (a , b), est centre de symétrie de C.r si et seulement si le
~
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point M' tel que .QM' = MQ est aussi sur la courbe. Les coordonnées (x', y') sont telles
que:
x' - a = a - (x + a) = - x
y' - b = b - y = b - f(a + x)
Le point M' appartient à la courbe Cf si et seulement si y' = f(x').
La condition précédente devient : f(a - x) + f(a + x) = 2 b.
•
~ Le cas a = 0 est celui où la fonction est impaire.
Exemple
La courbe représentative de la fonction définie sur IR par x ~ 2 + (x - 2) 3 admet le point de
coordonnées (2, 2) comme centre de symétrie :
y
- 1
X
- 1
Figure 12.1- La courbe représentative de la fonction x H 2 + (x - 2) 3 •
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