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Qu'est-ce qu'une intégrale?
Définition
Considérons une fonction f: [a, b] c R ~ R, continue sur [a, b].
On appelle intégrale de a à b de fla valeur de l'aire comprise entre la courbe représentative de f sur [a, b] et l'axe des abscisses.
y
-1
a
b
Figure 103.1- L'aire sous la courbe représentative de f entre a et b.
Le cas présenté ci-dessus ne reflète, hélas, pas la réalité des fonctions que l'on rencontre dans la vie de tous les jours du physicien, du chimiste, du biologiste, ...
En effet, la plupait des fonctions ne possèdent pas toutes des propriétés de régularité,
en particulier, elles ne sont pas nécessairement continues (ce qui est le cas, par exemple,
d'un effort appliqué localement sur une poutre).
Afin de pouvoir calculer l' intégrale d' une fonction qui n'est pas toujours continue, les
mathématiciens ont commencé par construire l'intégrale de fonc tions «échelonnées»,
ou «en escaliers», qui correspondent à des réalités physiques, comme, par exemple,
une répartition de chaleur sur un barreau métallique de longueur infinie, en fonction de
l'abscisse x :
{ l sur [ - 1 , 1]
T(x) = 0 ailleurs
y
-1
Figure 103.2- Une fonction« créneau».
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