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Pouvoir déterminer, pour des suites, des relations de négligeablilité, équivalence, domination,
est donc extrêmement utile pour étudier leur convergence!
4. Développement asymptotique
Définition
On appelle développement asymptotique d'une suite réelle (un)neN une décomposition de la forme :
où
Un = Un, 1 + Un,2 + ... + U11 ,p + 0 ( Un ,p)
lun,pl est très petit devant lun,p-1 I
lun,p- 1 I est très petit devant lun,p- 21
lun,21 est très petit devant lun,1 I
Les développements asymptotiques peuvent être extrêmement utiles pour déterminer des limites.
On parle de développement asymptotique, car on étudie ce qui se passe lorsque n tend vers +oo.
Exemple
On considère la suite (u 11 ) 11 EN* définie par :
V n E N* : u,, = ( 1 - ~ r
Lorsque n tend vers + oo :
(1 _ ~r = e'dn(I - !;) = e"(-;\+o(~)) = e- J+o(I)
(On a effectué un développement asymptotique à l' ordre l en t .)
Ainsi :
(
1 )"
J
lim 1 - -
= e1
= -
n->+oo
n
e
S. Des propriétés intéressantes : suites adjacentes, théorème
des gendarmes
~ Suites adjacentes
Définition
Deux suites réelles (u 11 )neN et (v 11 ) 11 eN sont dites adjacentes si :
• l' une des suites est croissante;
• l'autre suite est décroissante :
• lim (u 11 - Vn) = O .
n~+ co
Théorème
Deu.x suites adjacentes convergent et ont même limite.
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