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Exemple
On considère les suites (un)neN" et (v, 1 ) 11 eN" définies par :
s+l
V n E N* : u11 = - - "
211
Alors, comme, pour tout entier naturel non nul n :
3
v - -
11 -
2"
5 + !
16 1
l u,,I = - -
11
~ -
- 21v 1
211 "" 211 -
Il
on a bien:
3. Équivalence
Définition
Soient (u 11 )neN et (v 1 ,) 11 eN deux suites réelles, non identiquement nulles.
Les suites (un)neN et (u 11 ) 11 EN sont dites équivalentes s'il existe une suite (a 11 ) 11 eN• de
limite égale à 1, et un rang no à partir duquel :
Un= ŒnUn
On note alors :
U 11 ~ U 11
n.-4+00
Exemple
On considère les suites (u 11 ) 11 EN" et (v 11 ) 11 EN• définies par :
Alors, comme :
l
V n E N * : u 11 = 1 + 4
n
l
V11 =} + 3
n
1
1 +1 .
u,,
l'
n.3 1
!fi -
= !fi - - - =
11--> +oo v 11 11-->+oo
1
1 +- n4
les suites (u,,) 11 EN et (v,,) 11 EN sont bien équivalentes lorsque n tend vers +oo .
Attention aux manipulations successives et hasardeuses d'équivalents!
Pour cette raison, on ne donnera pas, dans ce cours, de résultats généraux ni de «recettes»
pour la manipulation d'équivalents, la meilleure méthode, la plus fiable et la plus sûre, étant
de manipuler, suivant les cas et ce qui est Je mieux adapté, des« o » ou des« 0 ».
Théorème
Soient (u 11 ) 11 eN et (u 11 )neN deux suites réelles, équivalentes lorsque n tend vers +oo.
Alors:
Un = Un + O(Un)
n~+oo
Réciproquement, si (un)neN et (u 11 ), 1 eN sont deux suites réelles telles que, lorsque n tend
vers +oo
Un = Un+ O(Un)
elles sont aussi équivalentes lorsque n tend vers + oo.
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