"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
·~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Suites de Cauchy
Pour étudier le comportement d'une suite à l' infini, il n'est pas toujours nécessaire de
connaître sa limite. Intuitivement, on comprend bien que, si une suite converge, ses
termes seront, à partir d'un certain rang, assez proches les uns des autres.
Définition
La suite (un)neN est une suite de Cauchy si, pour tout réel strictement positif t: , il
existe un entier no tel que :
ce qui signifie que, à partir d'un certain rang, l'écart entre deux termes de la suite est
toujours, en valeur absolue, aussi petit que l'on veut.
~ Critère de Cauchy
Propriété
Une suite réelle converge si et seulement si c'est une suite de Cauchy
1
•
Démonstration : Soit (u 11 ) 11 EN une suite convergente, de limite finie e E R Alors, pour
tout t: > 0, il existe un rang no tel que :
t:
V n ;:;,, no : lu11 - li ~ 2
Par suite, pour tout couple d'entiers (p , q) tels que p ;:;,, no et q;:;,, no :
La suite (u,,) 11 EN est donc une suite de Cauchy.
Réciproquement, considérons une suite réelle (u,,) 11 eN telle que, pour tout réel strictement positifs, il existe un rang no tel que, pour tout couple d'entiers (p, q) tels que
p ;:;,, no et q ;:;,, no :
t:
iup - Uql ~ l
Il en résulte, en particulier, pour tout entier n ;:;, , no :
puis, par inégalité triangulaire :
s
lunl = lun - Un 0 + Un 0 I ~ 2 + lu,, 0 1
La suite (u,JneN est donc bornée par max {uo, . .. , lu11 0 - 1 I, ~ + lu11 0 I}.
1. lR est un espace complet, c'est-à-dire un espace où toute suite de Cauchy converge.
399
Il\
~
~
u
- n:s
u