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Comme lim n = + oo, il en résulte :
11-.+oo
lim cp(n) = + oo
n-.+oo
L'application cp n'est donc pas majorée.
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Théorème
Toute sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite.
Démonstration : On démontre le résultat dans le cas d'une su ite réelle.
Soit ainsi (ui p(n)) une suite extraite d' une suite convergente (u 11 ) 11 EN·
11EN
On note e la limite de (u11)11EN·
Alors, pour tout t:: > 0, il existe un rang no tel que, pour tout entier n;?: no :
L'application cp étant strictement croissante de N dans N, et non majorée, il existe donc
un rang n 1 tel que, pour tout entier n ;?: n 1 :
cp(n) ;?: no
Ainsi, pour tout entier n ;?: n 1 :
lui,o(n) - l i ~ ê
D' où le résultat.
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:>- Théorème de Bolzano-Weierstrass
Théorème
De toute suite réelle (un)nEN bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Démonstration : Ce théorème est admis.
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