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Suites extraites
Définition
Soit (u 11 )neN une suite, à valeurs réelles ou complexes.
On appelle suite extraite de la suite (u,,)nEN (ou sous.suite) une suite obtenue en
sélectionnant, dans l'ordre, un sous-ensemble infini de termes de (u 11 ) 11 EN·
Comme les termes sont retenus «dans l'ordre» , il existe ainsi une application strictement croissante la forme (u Exemple
Étant donnée une suite réelle (u,,) 11 eN, la suite (u 211 ) 11 eN, obtenue en ne retenant que les termes
d'indices pairs, est une suite extraite de (u11) 11 eN ·
L'application <.p : N ~ N permettant d'indexer les termes de la suite extraite est donc ici :
nH 2n.
Lem me
Toute application

Démonstration : Dans un premier temps, on démontre par récurrence que, pour tout
entier naturel n :
cp(n) ~ n
• Cette propriété est bien vraie au rang 0, cp(O) ~ 0
• Supposons la propriété vraie à un rang n ~ 0: cp(n) ~ n.
L' appl ication cp(n + 1) > cp(n) ~ n
Ainsi , cp(n + 1) > n
ce qui conduit à :
cp(n+ 1) ~ n+ 1
La propriété est donc vraie au rang n + 1.
• Comme elle est vraie au rang 0, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
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