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u
On obtient:
Un+I - f
Zn+I =
Un+I - f
au,l + b - e
CU 11 +d
au 11 + b -
- e
CUn +d
aun +b
ae + b
CU 11 +d ce1 + d
au 11 + b al+b
CUn +d cf +d
ce+d (ad - bc)(u,, - f)
ce+ d (ad - bc)(un - ë)
-
ce + d u,, - e
=
ce+d u - ë
11
-
ce+d
=
ce+dZn
puisque e et e vérifient respectivement
e = ae + b
ce + d
L
. ( )
d
.
,
, .
d
.
ce+ d
a SUite z,, nEN est one une SUite geometnque, e raison cl + d.
Par suite, pour tout entier naturel n :
(
cë + d)
11
Zn = ZO ce+ d
Or:
et+ d * 1
cl+d
La suite (z,,)neN n'a pas de limite lorsque n tend vers +oo. Il en est de même de la
suite (u 11 )nEN ·
Il est à noter que la divergence de la suite peut s'obtenir directement, dans la
mesure où l'équation aux points fixes n'admet pas de racine réelle! La suite étant
à valeurs réelles, sa lim ite est en effet nécessairement réelle.
•
0
1 1
' 1
.
a e + b . 1'
1
.
n exc ut e cas ou e premier terme vaut - -, pmsque ·on a a ors, pour tout entier natuc t + d
rel n :
at+b
Un = - -
cf + d
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