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u
Ainsi :
(el+d) 2
(a+d) 2
4
=
= l
(ad - be)
4
(a+d)2
Il en résulte :
el+d
1
el + d
Un+ l = e d b + - - P = e d b + Un
a - e Un - ta - e
L
. ( )
d
.
.
, .
.
et + d
a smte Un nEN est one une smte an thmet1que, de raison e - - -
ad - be
Par suite, pour tout entier naturel n :
el+d
Un = uo + C n - - -
ad - b c
La suite (un)nEN diverge. La convergence de la suite (u 11 )nEN vers a - d en résulte.
2e
2. Si (d - a )
2 + 4 b c > 0 :
394
Le discriminant /1 est strictement positif, l'équation «aux points fi xes» admet
deux solutions distinctes e, et l2 :
Ainsi:
a - d - Yb.
l 1 = - - - -
2e
f2 = a - d + Yb.
2e
Considérons alors la suite (w 11 )nEN définie, pour tout entier naturel n, par :
u 11 - e,
On obtient :
Wn+ J =
=
=
=
=
=
Wn =
Un - f2
aun + b P
- t, 1
e Un+ d
aun + b P
- 1'2
eun + d
a Un + b a f 1 + b
eun +d et, +d
aun + b al2 + b
eu 11 + d el2 + d
el2 + d (ad - be)(u 11 - f1)
eti + d (ad - be) (u 11 - f2)
et2 + d Un -li
el1 + d Un - l2
cl2 +d
P
d Wn
et-1 +