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Convergence des suites
homographiques réelles
Proposition
On considère quatre réels a, b, c et d tels que :
ad - bc-:1=0 , c =l = O
et la suite homographique réelle (u 11 )neN vérifiant une relation de récurrence de la
forme:
au 11 + b
V n E N : Un+ 1 =
d
CU 11 +
Pour que la suite soit définie pour tout entier naturel n, il faut que, pour tout entier
naturel n:
CUn + d i:- Û
Si la suite (u 11 )neN converge, sa limite e est solution del' équation :
t = al+ b
ct+d
soit: ct 2 + (d - a)f - b = O.
. .
ae + b
On supposera, dans ce qui SUlt : uo * ce+ d . Alors :
• Si (d - a)
2 + 4bc < 0, l'équation précédente n'a pas de solution réelle, et la suite
diverge.
• Si (d - a) 2 + 4 b c = 0, J' équation précédente admet une racine double, a - d . La suite
2c
a - d
converge vers ~ .
• Si (d - a)
2 + 4bc > 0, l'équation précédente admet deux racines réelles distinctes t 1
et t2, avec f 1 < t2 :
· 1ct2+d11
. ()
1· . p l
d
- s1 t
< , la smte u 11 neN a pour 1m1te i- 1 orsque n ten vers +oo.
c 1 +d
- Si 1c~
2
+d1 > l , la suite (u 11 ) 11 eN a pour limite l2 lorsque n tend vers +oo.
c 1 + d
S . ct2 + d
1 1 . ( )
d'
-
1 P
= - , a SUite Un nEN !Verge.
Cq + d
Démonstration : Si la suite converge, sa limite est un point fixe de la fonction :
x ER\{-~} H _ ax _ +_ b
c
ex +d
Un tel point fixe x est donc solution de :
392
ax+b
x = - - -
cx+d