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Propriété
Soient (un)nEN une suite réelle, divergente, de limite - oo, et À un réel.
Si le réel À est strictement positif, la suite (;l un)nEN est elle aussi divergente, de limite - oo.
Si Je réel À est strictement négatif, la suite (À u 11 ) 11 EN est elle auss. i divergente, de limite +oo .
Dans le cas de deux suites divergentes (u,,),,eN et (v,,),,eN• de limites respectives -oo et +oo,
il n'est pas possible de savoir, sans une étude supplémentaire, quelle est la limite (et si elle
existe), de la suite (u11 + V11)neN·
5. Complément : le théorème de Cesàro
1
Théorème
Soit (u 11 ) 11 EN* une suite réelle, de linûte finie l E lR.
*
ui + u2 + ... + U11
La suite (u 11 )nEN*• telle que : V n E N : u 11 = - - - - - - -
n
limite l que fa Suite (u11)neN* .
Démonstration :
11
.L uk, a même
n k=I
• Par définition de la )jmjte, pour tout E > 0, il existe un rang no tel que, pour tout entier
naturel n ~ no :
• Pour tout entier naturel n ~ no :
s
l u - li & -
Il
""' 2
1 Il
lun -ll = - L (uk -l)
n k=I
l no- 1
n
n L (uk - l) + L (uk - l)
k= 1
k=no
1 110 - l
étant une quantité finie : lim - ~ (uk - l) = O .
11->+oo n LJ
k= l
k= I
no- 1
.Lcuk - l)
Il existe donc un rang n 1 tel que, pour tout entier naturel n ~ n 1
1 110- I
- .Lcuk - l) ~ ~
n k=l
2
Par suite, pour tout entier naturel n ~ max {no , n 1 } :
I no- 1
I n
1
lu,, - li ~ - ~ (uk - l) + - ~ (uk - l) ~ ~ + n - no +
n LJ
n LJ
2
n
k=I
k=n-0
E
S
E
- ~-+ - = s
2
2 2
Posons alors n 2 = max {no, n 1 } . On a alors, pour tout entier naturel n ~ n 2 :
lun - li ~ E
La suite (u 11 \,EN* a donc même limite que la suite (u 11 ) 11 EN*.
•
l. Ernesto Cesàro (1859-1906), mathématicien italien, qui apporta de nombreuses contributions à l'étude
des séries numériques. C'était aussi un spécialiste de géométrie différentielle.
391
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