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Opérations sur les limites de suites
1. Somme de suites
Propriété
Soient (u 11 )neN et (v 11 ) 11 eN deux suites, à valeurs dans Ill ou C , convergentes, de limites
respectives lu et f v.
Alors, la suite (un + v,JneN est elle aussi convergente, de limite t 11 + fv .
Propriété
Soient (u 11 ) 11 eN et (v 1 . J 11 eN deux suites réelles, de li mites respectives fu et +oo .
Alors, la suite (u 11 + v 11 ) 11 eN est divergente, de limite + oo .
Propriété
Soient (u 11 ) 11 eN et (v 11 )neN deux suites réelles, de limites respectives fu et - oo.
Alors, la suite (u 11 + vn)neN est divergente, de limite - oo.
Dans le cas de deux suites réelles divergentes (u 11 ) 11 eN et (v 11 )neN• de limites respectives - oo et
+ oo, il n'est pas possible de savoir, sans une étude supplémentaire, quelle est la limite (et si
elle existe), de la suite (un + v,,)neN·
2. Produit de suites
Propriété
Soient (u 11 )neN et Cvn)neN deux suites, à valeurs dans Ill ou C , convergentes, de limites
respectives fu et f v.
A lors, la suite (u 11 v 11 )neN est elle aussi convergente, de limite fu fv .
Propriété
Soient (u 11 ), 1 eN et (vn) 11 eN deux suites réelles, de limües respectives fu > 0 et +oo.
Alors, la suite (u, 1 Vn)neN est divergente, de limite +oo.
\§!\ Dans le cas où l 11 = 0, il n'est pas possible de conclure sans une étude plus poussée (qui
t:J n'aboutira pas nécessairement).
Propriété
Soient (un)neN et (v 11 ) 11 eN deux suites réelles, de limites respectives fu > 0 et - oo.
~ 1.
V 2.
Alors, la suite (un v 11 )neN est divergente, de limite - oo.
Dans Je cas où l,, = 0, il n'est pas possible de conclure sans une étude plus poussée (qui
n'aboutira pas nécessairement).
On dispose bien sûr de propriétés analogues pour le cas où l 11 < O.
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