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soit:
Vn ~ ni : lun+l - f(l)I ~ ~
On a alors, pour tout entier n tel que n ~ max(no, n 1 ) :
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lt - f(l)I = lt - Un+I + Un+ I - f(l)I ~Il - U11+1 I + lun+ I - f(l)I ~ 2 2 = e
Le réel e ayant été choisi aussi petit que l'on veut, on a donc, nécessairement :
l = f(t)
2. Théorème du point fixe (de Banach)
Théorème
Soit f une fonction d~finie sur un intervalle l de IR, à valeurs dans !, contractante
1
•
Alors, la suite (u 11 )nEN définie par:
V n E N : Un+I = f(un)
converge vers l'unique point fixe l de f appartenant à l'intervalle!.
De plus, pour tout entier naturel n:
•
Démonstration : On admettra l'existence et l'unicité du point fixe e de f (cela est dû
au fait que f est contractante).
Pour tout entier naturel n :
lun - li = If (U11- 1) - f(l)I ~ k lun- 1 - e1 ~ k
2 lun-2 - li~ ... ~ k
11 luo - e1
Comme 0 < k < l :
lim !('· = 0
11--?+oo
D'où le résultat !
Il est à noter que ce théorème peut aussi se démontrer à l'aide de suites de Cauchy,
comme cela sera fait plus loin.
•
1. c'est-à-dire lispchitzienne de rapport k < 1 ; pour tout couple de réels (x, y) E 12:
l.f(x) - f(y)I ~ klx - YI
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