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Convergence des suites monotones
Propriété
Une suite réelle croissante et majorée converge.
Démonstration : Soit (u 11 )neN une suite réelle croissante et majorée. Désignons par fBs
la borne supérieure (finie) de l'ensemble {u 11 , n E N}.
Comme fBs est le plus petit des majorants de cet ensemble, alors, pour tout e > 0,
fBs - e , qui est plus petit que 13 5 , n'est pas un majorant. Ainsi , il existe un entier no tel
que:
Or, la suite (un)neN étant croissante, on aura donc, pour tout entier n;;;:: no :
On retrouve ainsi la définition de la limite d'une suite: (u 11 )neN converge donc vers fB s .
•
Propriété
Une suite réelle décroissante et minorée converge.
Démonstration : Exercice.
•
1. Convergence des suites réelles définies par une relation de récurrence de la forme Un+ 1 = f(u 0 )
Théorème
Soit (u,,)neN une suite réelle définie par une relation de récurrence de la forme
Un+ 1 = f(u, 1 ), où f est une fonction donnée.
Si (un)neN converge vers une limite e, et si la fonction f est continue en e, alors :
e = f(t)
Démonstration : On suppose donc que la suite (u 11 ) 11 eN converge vers le réel e; ainsi,
pour tout t: > 0, il existe un rang no tel que :
E:
V n ;;;:: no : lu11+ 1 - li ~ 2
soit:
E:
Vn;;;:: no : lf(un) - ll ~ 2
Comme la suite (f(u 11 )) 11 eN converge vers f(f), il existe un rang n1 à partir duquel :
V n ;;;:: n1 : lf(u11) - f(t)I ~ ~
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