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La réciproque est fausse ! Une suite bornée n'est pas nécessairement convergente. C'est le cas,
par exemple, de la suite (u 11 )"eN• définie par :
V n E N : u 11 = 1 + (-1 )"
La suite (u 11 ) 11 ew est bien bornée, puisque, pour tout entier naturel n :
lu,,I ~ 2
Elle ne converge pas, car (-1 )11 n'est pas le terme d' une suite convergente (les valeurs prises
étant, alternativement, - 1 et 1 ).
3. De l'utilité des suites pour l'étude des fonctions : caractérisation
séquentielle de la limite
Théorème
Soient f une fonction définie sur un intervalle l de R., et xo un réel donné dans l. Tl y a
équivalence entre Les propriétés suivantes :
•
lim f(x) = e
x -> xo
• Pour toute suite réelle (u 11 )neN" à valeurs dans /, de Limite xo, La suite (f(u 11 )) 11 eN
converge vers e.
Ce résultat est extrêmement puissant, dans la mesure où, pour une application continue f :
l c lR ---? R., et une suite (u 11 ) 11 EN • à valeurs dans !, convergeant vers une limite t 11 E !, on peut
en déduire le résultat suivant :
lim f(u11) = !( lîm un)= f(lu)
11 ~+ 00
11~+00
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