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2. Propriétés fondamentales
Propriété
S i la limite d' une suite existe, alors elle est unique.
Démonstration : On démontre ce résultat par l'absurde, dans le cas d'une suite réelle
convergente (u,,)neN ·
On suppose qu'il existe deux réels t1 et l2 tels que la suite (un)neN converge vers l 1
et l2 avec l 1 * l2.
Soit E >O. Il existe alors deux entiers n 1 et n1 tels que:
On a alors, pour tout n;?: max(n1 , n1) :
,
1
b .
lt 1 - l2I
s etant que conque, on o tient, pour e =
2
:
Si l 1 =F l2, c'est impossible. Il en résulte:
Propriété
Une suite convergente est bornée.
Démonstration : On démontre ce résultat dans le cas d'une suite réelle.
Soit ainsi (u 11 ) 11 eN une suite réelle convergente, de limite t E IR.
Soit e > O. Il existe un entier no tel que :
Par suite, pour tout entier n ;?: no :
Ainsi, en considérant
M = max{luol, lui!, ... , lun 0 - d, E +Ill}
on en déduit, pour tout entier naturel n :
qui est Je résultat cherché !
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