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Convergence
1. Définitions
>- Suite convergente
Une suite réelle (u 11 ) 11 EN converge vers une limite finie t E IR si, pour tout réels > 0, il
ex iste un rang no tel que :
V n ~ no : lun - li ~ t:
La suite (u,i) 11 EN est dite convergente (ou converge), de limite
~ 1.
t:J
l = lim Un
n--'>+oo
Le fait d'écrire~< pour touts > 0 » signifi e que la quanti tés, qui est positive, peut être choisie
aussi petite que l'on veut, et permet donc de comprendre de façon « intuitive» la notion de
limite.
2. Le choix de la quantités conditionne celle de l' entier no: une fois t: fixé, no l'est aussi.
Une suite complexe (u 11 ) 11 EN converge vers une limite finie t E suites (~e (u 11 )) 11 EN et (I m (u 11 ))nEN convergent respectivement vers ~e (l) et I m (t).
>- Suite divergente
Une suite réelle (un)nEN diverge vers + oo si, pour tout réel strictement positif A, il existe
un rang no tel que :
On écrit alors :
V n ~ no : u 11 ~ A
li m Un = +oo
fl--'>+ OO
Une suite réelle (u,i) 11 EN diverge vers - oo si, pour tout réel strictement positif A, il existe
un rang no tel que :
On écrit alors :
V n ~ no : Un ~ -A
lim U 11 = - oo
n--t + oo
Une suite (u, 1 )nEN qui n'a pas de limite finie est dite divergente.
Une suite réelle qui a pour limite +oo est ainsi une suite divergente. Mais ce n'est pas parce
qu'une suite diverge qu'elle tend vers + ou - oo !
Exemple
La suite (v 11 ) 11 EN définie par :
V n E N : v 11 = l + ( - l )
11
diverge, mais ne tend pas vers +oo ou - oo ; elle est en effet bornée
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