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La fonction g est défi nie, continue et dérivable sur JR(+ :
t
l
l- 2Yx+l
V x E IR+ : g (x) =
- l = - - - -
2 -Yx+1
2 -Yx+1
Comme, pour tout réel positif x: Vx+î;;,: 1, g'(x) ne s'annule jamais sur R.+, où elle prend
des valeurs négatives.
La fonction g est donc st1ictement décroissante sur JR+. Soit

g(x) =X.
Si 0 < uo < 4. Un cas particulier : les suites homographiques
Définition
Étant donnés quatre scalaires a, b, cet d tels que :
ad - bc =F O
c=FO
on appelle suite homographique une suite (u 11 )nEN vérifiant une relation de récurrence
de la forme:
au 11 + b
V n E N : U 11 + J = - - -
C Un + d
Le nom vient du fait qu'une application de la forme :
xEK\ - - H - -
{ d} ax+b
c
ex+ d
avec
ad - bctO , cif::O
est une homographie, c'est-à-dire une application du plan complexe dans lui -même, qui laisse
invadant l'ensemble des droites et des cercles de celui-ci (on parle de transformation projective bijective). Une homographie s'obtient comme la composée de translations, de rotations,
d ' homothéties et éventuellement d ' une inversion. La condition précédente assure, tout simplement, que la fonction n'est pas constante. En effet, dans le cas où ad - b c = 0, on obtient,
pourtout x de OC \ {- ~} :
a x + b a c x + b c a c x + ad a ( c x + d) a
=
=
=
cx+d c(cx+d)
c(cx+d)
c(cx+d)
c
Proposition
On considère quatre scalaires a, b, c et d tels que :
ad-bct O
La suite homographique (u, 1 )nEN telle que :
est définie si et seulement si :
Vn EN Un+ I
d
uo * -- c
c =FO
QUn + b
C U 11 + d
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