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Techniques d'étude des suites réelles
1. Étude de la différence Un+1 - Un
Exemple
On considère la suite (u 11 ) 11 EN définie par :
Alors, pour tout entier naturel n :
1
V n E N : u 11 = 1 . + -
211
u - u = l + -
- 1 - - = -
- - 1 = - - < 0
1
l
l ( · I
)
l
n+l
Il
2r1+l
2 11
2 11 2
211+1
La suite (u 11 )neN est donc strictement décroissante.
,
Un+1
2. Etude du quotient
dans le cas d'une suite à termes stricteUn
ment positifs
Exemple
On considère la suite (u 11 ) 11 EN définie par :
Alors, pour tout entier naturel n :
1
Vn EN: u 11 = -
2"
U11 + l
1
-
= - < l
Un
2
La suite (u 11 ) 11 eN est donc strictement décroissante.
3. Étude de suites réelles définies par une relation de récurrence
de la forme Un+1 = f(un)
La connaissance des variations de la fonction x H f(x) - x peut être très utile pour
l'étude de la suite (u,JneN·
Exemple
On considère la suite (u 11 ) 11 eN définie par :
uo = .1
Vn E N : U 11 + J = ~
Alors, pour tout entier naturel n :
Un +l - Uri = f(u11) - Uri
Par récurrence im médiate, on constate donc que la suite (u 11 ) 11 eN est à termes positifs.
É tudions alors la fonc tion g : JR+ ~ JR, x H Yx+T - x.
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