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>- Équation caractéristique
Définition
Étant donnée une suite (u 11 ) 11 eN• à valeurs dans JK., vérifiant la relation de récurrence
linéaire d'ordre 2:
V n E N * : a Un + 1 + b Un + c Un-1 = 0
(a, c) E JK.* x JK.*
b E JK.
1 'équation a r
2 + b r + c = 0 est appelée équation caractéristique.
Exemples
1. Considérons la suite (u,,) 11 eN définie par :
uo = l
ut = 2 , V n E N* Un+ t = 2 Un + 3 U11- t
L'équation caractéristique est : r2 - 2 r - 3 = 0
- l et 3 sont racines évidentes.
Ai nsi, il existe deux réels À etµ tels que: V n E N : u 11 = À (- 1)"+ µ3"
Les conditions sur uo et Ut conduisent alors à: uo =À + µ= l
Ut = - A + 3 µ = 2
puis : A = i
µ = ~
Par suite : V n E N :
(- t)"+3•• 1
u,, = 4
2. Considérons la suite (u 11 ) 11 eN définie par :
uo = 1
Ut = - 1
V n E N : U11+2 + Uri+ 1 + Un = 0
L'équation caractéristique est : ? + r+ 1 = 0, de racines complexes j = e
2 i" et j2 = e '~" = ].
Comme ljl = lj21 = 1, il existe deux réels À etµ tels que :
( 2nn) . (2n;r)
V n E N : u,, = A cos T + µ sm -
3
-
Les conditions sur vo et Ut conduisent alors à :
vo=A=l
( 27r) . (27r)
1 Y3
Ut = 1l COS 3 + µ Slll 3 = - À l + µ 2 = - 1
puis : µ= - ~ · Par suite : V n. E N : u11 =cos (
2
~ ir) - ~ sin (2 ~ir)
4. Suites définies par une relation de récurrence d'ordre p, p E N*
Définition
Une suite (u 11 )neN est définie par une relation de récurrence d'ordre p, p E N*, sj ses
p premiers termes, uo, u 1 , • • • , Up-J, sont donnés, et si, pour tout entier n ;;;i: p, u 11 + 1
s'exprime en fonction de un , u,,_ 1 , •• • , Un- p + J, ce qui est le cas pour des expressions
de la forme U 11 + 1 = h(u 11 , Un-J, . .. , Un-p+ 1 ), où h est une fonction donnée.
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