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u
• Pour montrer que 8n;a,b,c est de dimension 2, on va montrer que l'application linéaire,
qui, à toute suite de 8 11 ;a,b,c, associe ses deux premiers termes, est bijective (c'est un
isomorphjsme, c'est-à-dire une application linéaire injective et surjective); les deux
espaces seront donc isomorphes, ce qui garantit l'égalité de leurs djmensions respectives.
Soit donc l'application :
cp : 8n;a,b,c ~ OC 2
(u11)11eN H (uo, u1)
Il est clair que l'application cp est linéaire.
Le noyau de l'application cp, c'est-à-dire l'ensemble des suites (u 11 ) 11 eN dont les deux
premiers termes sont nuls, est réduit à la suite nulle : cp est donc injective.
L'application cp est surjective, car, si on se donne deux réels uo et u 1 , on peut définir
une suite de 8n;a,b,c dont les deux premiers termes soient uo et u1.
L'application cp est donc bien un isomorphisme : OC 2 étant de dimension 2, il en est
donc de même de On;a,b,c·
•
Afin de pouvoir exprimer, le plus facilement possible, les termes d'une suite vérifiant
une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 de la forme (92.1), il peut être intéressant
de déterminer une base de l'espace 8n;a,b,c· À cet effet, on commence par rechercher les
suites géométriques (distinctes de la suite identiquement nulle) qui satisfont ce type de
relations ; on cherche donc à déterminer les scalaires r, supposés non nuls, tels que :
V n E N* : a~+
1 + b r'
1 + c rn-l = 0
r étant non nul, il en résulte : a r2 + br + c = O. Par suite :
• si le discriminant b.. = b
2 - 4 ac est non nul, le trinôme a r
2 + b r + c admet deux racines
distinctes r 1 et r2 dans C.
Les suites géométriques (r'OneN et (~teN vérifient bien la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 donnée, et sont linéairement indépendantes. Elles forment donc une
base de On;a,b,c ·
Ainsi, toute su ite (u,,)neN vérifiant cette relation de récurrence est telle que :
V n E N : u11 = À r'~ + µ r~
(A,µ) E C
2
Si la su ite est réelle, et si les deux racines sont complexes, de la forme r 1 = p eiB et
r1 = p e-i 8 , toute suite (u,. 1 ) 11 eN vérifiant cette relation de récurrence est auss. i telle que :
V n E N : u 11 = ap
11 cos(nB) + [3p
11 sin(nB)
(a,[3) E IR
2
• si le discriminant b.. = b
2 - 4 ac est nul, le trinôme a r2 + br + c admet une racine
double ro E OC.
Les suites (rôteN et (n r0teN vérifient bien la relation de récurrence linéaire d'ordre
2 donnée, et sont linéairement indépendantes. Elles forment donc une base de 8 11 ;a,b,c·
Ainsi, toute suite (un)neN vérifiant cette relation de récurrence est telle que :
V n E N : u 11 = (À + µ n) r' 0 (A,µ) E OC
2
Dans tous les cas, pour ce type de suite, il y a donc deux constantes a priori inconnues, À etµ.
La connaissance de deux termes de la suite peut pennettre de lever l'indétermination. Lorsque
ce sont les deux premiers termes de la suite qui sont connus, on parle de conditions initiales.
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• Pour montrer que 8n;a,b,c est de dimension 2, on va montrer que l'application linéaire,
qui, à toute suite de 8 11 ;a,b,c, associe ses deux premiers termes, est bijective (c'est un
isomorphjsme, c'est-à-dire une application linéaire injective et surjective); les deux
espaces seront donc isomorphes, ce qui garantit l'égalité de leurs djmensions respectives.
Soit donc l'application :
cp : 8n;a,b,c ~ OC 2
(u11)11eN H (uo, u1)
Il est clair que l'application cp est linéaire.
Le noyau de l'application cp, c'est-à-dire l'ensemble des suites (u 11 ) 11 eN dont les deux
premiers termes sont nuls, est réduit à la suite nulle : cp est donc injective.
L'application cp est surjective, car, si on se donne deux réels uo et u 1 , on peut définir
une suite de 8n;a,b,c dont les deux premiers termes soient uo et u1.
L'application cp est donc bien un isomorphisme : OC 2 étant de dimension 2, il en est
donc de même de On;a,b,c·
•
Afin de pouvoir exprimer, le plus facilement possible, les termes d'une suite vérifiant
une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 de la forme (92.1), il peut être intéressant
de déterminer une base de l'espace 8n;a,b,c· À cet effet, on commence par rechercher les
suites géométriques (distinctes de la suite identiquement nulle) qui satisfont ce type de
relations ; on cherche donc à déterminer les scalaires r, supposés non nuls, tels que :
V n E N* : a~+
1 + b r'
1 + c rn-l = 0
r étant non nul, il en résulte : a r2 + br + c = O. Par suite :
• si le discriminant b.. = b
2 - 4 ac est non nul, le trinôme a r
2 + b r + c admet deux racines
distinctes r 1 et r2 dans C.
Les suites géométriques (r'OneN et (~teN vérifient bien la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 donnée, et sont linéairement indépendantes. Elles forment donc une
base de On;a,b,c ·
Ainsi, toute su ite (u,,)neN vérifiant cette relation de récurrence est telle que :
V n E N : u11 = À r'~ + µ r~
(A,µ) E C
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Si la su ite est réelle, et si les deux racines sont complexes, de la forme r 1 = p eiB et
r1 = p e-i 8 , toute suite (u,. 1 ) 11 eN vérifiant cette relation de récurrence est auss. i telle que :
V n E N : u 11 = ap
11 cos(nB) + [3p
11 sin(nB)
(a,[3) E IR
2
• si le discriminant b.. = b
2 - 4 ac est nul, le trinôme a r2 + br + c admet une racine
double ro E OC.
Les suites (rôteN et (n r0teN vérifient bien la relation de récurrence linéaire d'ordre
2 donnée, et sont linéairement indépendantes. Elles forment donc une base de 8 11 ;a,b,c·
Ainsi, toute suite (un)neN vérifiant cette relation de récurrence est telle que :
V n E N : u 11 = (À + µ n) r' 0 (A,µ) E OC
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Dans tous les cas, pour ce type de suite, il y a donc deux constantes a priori inconnues, À etµ.
La connaissance de deux termes de la suite peut pennettre de lever l'indétermination. Lorsque
ce sont les deux premiers termes de la suite qui sont connus, on parle de conditions initiales.
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