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ce qui conduit, pour tout entier naturel n, à :
b
n (
b )
b
11
b (a
11
-
1)
Un = V 11 - - - = a UQ + - - 1
- - - = a UQ +
a - 1
a -
a - 1
a -1
3. Suites définies par une relation de récurrence d'ordre 2
Définition
Une suite (u 11 )neN est définie par une relation de récurrence d'ordre 2 s i ses deux
premiers termes, uo et u1, sont donnés, et si, pour tout entier n ~ l, Un + I s'exprime en fonction de u 11 et u 11 _ 1, ce qui est le cas pour des expressions de la forme
u 11 +1 = g(u 11 , Un-1), où g est une fonctio n donnée.
Exemple
C'est le cas de la sui te (u 11 )neN telle que:
uo = 1
u, = 1
Vn EN*
Définition
Une suite (un)neN• à valeurs dans K, est définie par une relation de récurrence linéaire
d'ordre 2 si ses deux premiers termes, uo et u 1 , sont donnés, et si, pour tout entier
n ~ 1, U 11 + 1 s'exprime linéairement en fonction de Un et u 11 _ 1 , c'est-à-dire s'il existe
trois scalaires a, b etc dans K, (a, c) E K* x K*, tels que :
V n E N* : a Un+ 1 + b Un + c Un-1 = 0
Théorème
a, b etc, étant trois scalaires tels que (a, c) E K* x K*, l'ensemble Ôn;a,b,c des suites
(u 11 ) 11 EN vérifiant la relation de récurrence linéaire d'ordre 2
V n E N* : a U11+ 1 + b Un + c Un- 1 = 0
est un K-espace vectoriel de dimension 2.
Démonstration :
• Pour montrer que 8 11 ;a,b,c est un K-espace vectoriel de dimension 2, il suffit de montrer
que c'est un sous-espace vectoriel de l'espace KN des suites réelles.
li est non vide, car la suite identiquement nulle appartient à Ôn;a,b,c ·
Il ne reste donc plus qu'à montrer la stabilité de 8 11 ;a,b,c par combinaisons linéaires ; à
cet effet, on considère deux suites (un)neN et (v11)neN de 8 11 ;a,b,c• ainsi qu'un scalaire À.
On a, clairement, pour tout entier naturel non nul n:
a(Un+l + ÂV11+J) + b(un + Âvn) + c(U11-I + ÂV11+1) = aU11+I + bun + CUn -1
+ À (au, 1 + 1 + bv 11 + CVn- 1) = 0
Ainsi, la suite (un)ne N + Â (v,.,), 1 eN appartient bien à Ôn;a,b,c ·
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- - - = a UQ +
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3. Suites définies par une relation de récurrence d'ordre 2
Définition
Une suite (u 11 )neN est définie par une relation de récurrence d'ordre 2 s i ses deux
premiers termes, uo et u1, sont donnés, et si, pour tout entier n ~ l, Un + I s'exprime en fonction de u 11 et u 11 _ 1, ce qui est le cas pour des expressions de la forme
u 11 +1 = g(u 11 , Un-1), où g est une fonctio n donnée.
Exemple
C'est le cas de la sui te (u 11 )neN telle que:
uo = 1
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Définition
Une suite (un)neN• à valeurs dans K, est définie par une relation de récurrence linéaire
d'ordre 2 si ses deux premiers termes, uo et u 1 , sont donnés, et si, pour tout entier
n ~ 1, U 11 + 1 s'exprime linéairement en fonction de Un et u 11 _ 1 , c'est-à-dire s'il existe
trois scalaires a, b etc dans K, (a, c) E K* x K*, tels que :
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Théorème
a, b etc, étant trois scalaires tels que (a, c) E K* x K*, l'ensemble Ôn;a,b,c des suites
(u 11 ) 11 EN vérifiant la relation de récurrence linéaire d'ordre 2
V n E N* : a U11+ 1 + b Un + c Un- 1 = 0
est un K-espace vectoriel de dimension 2.
Démonstration :
• Pour montrer que 8 11 ;a,b,c est un K-espace vectoriel de dimension 2, il suffit de montrer
que c'est un sous-espace vectoriel de l'espace KN des suites réelles.
li est non vide, car la suite identiquement nulle appartient à Ôn;a,b,c ·
Il ne reste donc plus qu'à montrer la stabilité de 8 11 ;a,b,c par combinaisons linéaires ; à
cet effet, on considère deux suites (un)neN et (v11)neN de 8 11 ;a,b,c• ainsi qu'un scalaire À.
On a, clairement, pour tout entier naturel non nul n:
a(Un+l + ÂV11+J) + b(un + Âvn) + c(U11-I + ÂV11+1) = aU11+I + bun + CUn -1
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