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>- Suite géométrique
Définition
Une suite (u 11 .)neN est dite géométrique de raison q E Ksi, pour tout entier naturel n :
Un+I = q Un
>- Somme des termes d'une suite géométrique de raison * 1
1 - raisonnombre de termes
premier terme x - - - - - - - - - -
1 - raison
Mathématiquement, cela se traduit de la façon suivante : pour une suite géométrique de
raison q * 1, de premier terme up , p E N, on obtient, pour tout entier naturel n ~ p ,
n
1 - qn-p+I
I Uk = Llp X --1--- qk=p
(de Llp à Un, . il y a exactement n - p + 1 termes).
>- Suite arithmético-géométrique
Définition
Soient a et b dans ][( tels que a * 1. Une suite (un)neN telle que, pour tout entier
naturel n:
Un +I = au11 + b
est dite arithmético-géométrique.
>- Étude d'une suite arithmético-géométrique
On commence par déterminer s' il existe un nombrer E ][( tel que la su ite (u 11 ) 11 eN définie,
pour tout entier naturel n, par :
Un = Un + r
soit géométrique de raison a . Si un tel scalaire r existe, alors, pour tout entier naturel n :
Un+ 1 = Un+ l + r = a Un + b + r = a Un = a Un + a r
ce qui conduit donc à :
b
r = - -
a - 1
Réciproquement, on vérifie que la suite (u 11 ) 11 eN définie, pour tout entier naturel n, par:
est géométrique de raison a.
b
Un = Un+ - -
a - 1
O n peut alors en déduire, pour tout entier naturel n :
n
n (
b )
u11 = a uo = a uo + - -
a - 1
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