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Une suite numérique, qui est donc une liste de nombres, peut donc être considérée comme
une application d' une partie de N (qui peut être égale à N), dans R ou C. On notera, dans ce
qui suit, OC pour désigner lR ou C. La plupart des résultats qui suivent sont présentés dans le
cas des suites réelles.
On désigne, habituellement, par (u 11 ) 11 EN la suite numérique qui, à un entier naturel n,
associe le nombre u 11 •
Soit no un entier naturel. On désigne, habituellement, par (un) 11
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110
la suite numérique
qui, à un entier naturel n ~no, associe le nombre un.
1. Somme de suites
Soient (un)nEN et (v 11 ) 11 EN deux suites à valeurs dans le corps K
Alors, la suite somme Cwn)nEN = (u 11 + v 11 ) 11 EN est définie par:
V n E N : W11 = U11 + Un
2. Multiplication d'une suite par un scalaire
Soit (u 11 ) 11 EN une suite à valeurs dans le corps K, et À E K
Alors, la suite Cwn)nEN = À (un)nEN est définie par :
V n E N : Wn = À Un
3. L'espace vectoriel des suites
Théorème
L'ensemble, noté KN des suites à valeurs dans K est un K-espace vectoriel, c'est-à-dire
un ensemble non vide
1
, muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire, tel
que:
1. étant données deux suites (u 11 ) 11 EN et (v 11 )nEN' à valeurs dans ][{, la somme de ces
suites est aussi une suite à valeurs dans K :
2. étant données deux suites (un)nEN et (vn)nEN' et un scalaire À, (À u 11 + v,,)nEN est
aussi une suite à valeurs dans K :
3. étant donnée une suite (u,JnEN' et deux scalaires À etµ dans K, (À +µ) (u 11 ) 11 EN est
aussi une suite à valeurs dans K :
4. étant donnée une suite (u 11 ) 11 EN, à valeurs dans K, et deux scalaires À etµ dans K :
1.11 est clair que la suite nulle (u,, = 0 pour tout entier naturel n) appartjent à cet ensemble.
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