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• Déterminons le noyau de r :
de façon évidente: Ker p n Kerq c Kerr, puisque, si l'on est à la fois dans le noyau de pet
dans celui de q, on est aussi dans celui der.
Réciproquement, considérons un élément x du noyau der. On a alors :
p(x) + q(x) - (poq)(x)=O (*)
En composant à gauche par p, on en déduit :
(pop) (x) + (p o q) (x) - p o (p o q) (x) = 0
soit:
p(x) + (p o q) (x) - (p o q) (x) = 0
Il en résulte: p(x) = 0, et donc: x E Ker p.
De même, en composant à gauche par q dans ( * ), on obtient :
(q op) (x) + (q o q)(x) - q o (p o q) (x) = 0
soit:
Par suite : x E Ker q.
Par suite: Kerr c Ker p n Kerq.
On a donc, finalement :
• Déterminons l'image der:
q(x) = 0
Kerr= KerpnKerq
de façon évidente : I m r c I m p + I m q, puisque, pour tout x de E :
r(x) = p (x - q(x)) + q(x) E Im p + Imq
Réciproquement, considérons un élément x de Im p + Imq; il peut s'écrire sous la forme:
x=xµ + xq , Xp E Imp et Xq E Imq
On calcule alors :
r(x) =
r(xp + xq)
=
(p + q - p o q) ( Xp + Xq)
=
p(xp+xq)+q(xp+ xq) - (poq)(xp+xq)
= p (x") + p (xq) + q (xp) + q ( Xq) - (p c q) ( Xp) - (p c q) ( Xq)
'-v--"
'--v-' '--v-' " - - v - - - ' " - - v - - - '
X 1 ,
Û
Xq
Û
p ( Xq)
=
=
Ainsi, pour tout x de I m p + I m q :
Tl en résulte: Imp + Imq c Imr.
Xp + p(xq) + Xq - p(xq)
Xp + Xq
X
x = r(x) E Im r
On a donc, finalement: Im r = Im p + Imq.
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