1:l
0
c::
::J
0
v
...-!
0
N
@
~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
#jl Soient E et F deux ~-espaces vectoriels, f une application linéaire de E dans F , et g
une application linéaire de F dans E.
On suppose que :
Jogof = J' gofog=g
54.a) f o g est un projecteur de F , et go fun projecteur de E, puisque:
(f 0 g) 0 ( / 0 g) = f 0 g ' (g 0 / ) 0 (g 0 / ) = g 0 f
(Il faut faire bien attention aux espaces de départ et d'anivée pour déterminer de quels
espaces respectifs f o g et go f sont projecteurs.)
54.b) On peut le faire directement, en démontrant que
366
E=Kerf+ l mg, Kerfnlmg={O}
et:
F = Kerg + lmf , Kerg n lmf = {0}
mais le mieux est d' utiliser le fait que:
E = Ker(g o /) ffi lm(g of)
et:
F = Ker(f o g) ffi l m(f o g)
On ne traite que l' un des cas, les deux étant analogues.
Il suffit donc de montrer que :
Ker(g of)= Ker/ et lm(g of)= lmg
On a, de façon évidente: Kerf c Ker(g of) , lm(g of) c !mg.
Pour x E Ker(g of)
et donc Ker(g of) c Kerf.
De même:
f(x) = f o g o f(x) = 0
Pour x E l m(g), il existe y E Etel que : x =go f(y), ce qui conduit à:
X = g o j o g(y) E f m(g o /)
et donc
lmg c Jm(g of)