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L'intersection de ces sous-espaces étant réduite au singleton {0}, on a donc, finalement:
E =Ker(! - 2idE) tB Ker(!- 3 idE)
MjW On se place dans l'espace vectoriel ~ [X] des polynômes à coefficients réels, de degré
4
inférieur ou égal à 4. On considère l'application rr qui, à tout polynôme P = .Li œk Xk associe
k=O
On a alors:
4
Par suite : rr o rr = rr (le polynôme .Li œk Xk est quelconque). n est donc bien un projecteur de
k=O
~ [X].
4
Déterminons le noyau de rr : un polynôme P, de la forme .Li œk Xk, appartient à ce noyau si :
k=O
2
.Li œkxk = O
k=O
Le noyau den est donc l'ensemble des polynômes de I!ti [X] de la forme:
4
.Liœkxk = o
k=3
(C'est-à-dire l'ensemble des polynômes de degré 4 n'ayant pas de composante de degré 0, 1 et 2)
MjM Soit E un JR-espace vectoriel, et pet q deux projecteurs de E tels que:
Imp c Kerq
On pose : r = p + q - p o q.
Pour montrer que r est un projecteur de E, il suffit de montrer que pop =p. Compte tenu du fait
que p et q sont des projecteurs :
pop=p , qoq=q
Enfin, l'hypothèse I m p c Ker q conduit à:
qo p = 0
On calcule alors :
ror=
(p + q - p 0 q) 0 (p + q - p 0 q)
=
p 0 (p + q - p 0 q) + q 0 (p + q - p 0 q) - p 0 q 0 (p + q - p 0 q)
= p o p + p o q - p o p oq + q o p + q o q - q o p oq - p o q o p - p o q o q + p o q o p oq
"---v-"
"---v-"
"---v-" "---v-" "---v-"
"---v-"
"---v-"
"---v-"
/J
p
0
q
0
0
q
0
=
p + poq - poq+q - poq
=
p + q - poq
=
r
Ainsi, r est bien un projecteur de E .
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