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Enfin : en remarquant que, pour toute fonction continue sur (- 1, 1], à valeurs dans JR, et tout réel
xde(- 1, 1]:
f(x) = f(x) + f( - x) + f(x) - f(- x)
2
2
.
f(x) + f( - x)
.
.
.
f(x) - f( - x )
La fonction x H
2
est continue sur [-1 , 1], et paire. La fonction x H
2
est continue sur [ - 1, 1 ], et impaire. Ains i, toute fonction continue sur [- J, l ] peut s'écrire comme
somme d'une fo nction continue sur [- l , l], paire, et d ' u ne fonction continue sur [- I, l] , impaire.
L'intersection des espaces c + etc- étant réduite à la fonction identiquement nulle sur [- 1, l] ,
on en déduit que c+ etc- sont supplémentaires dans C ((- 1, l] , JR).
Miel Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On se place dans l'es pace vectoriel M 11 (R)
des matrices de taille n x n, à coefficients réels. Montrer que l'ensemble des matrices de taille
n x n, à coefficients réels, de trace nulle, est un sous-espace vectoriel de M,,(JR).
À cet effet, on considère deux matrices A = (aiJ) . . et B = (b;i) . . de M ,,(R), de
1,.,,.11,1 .-;.-n
· 1"'""·1 "J ""
trace nulle, ainsi qu'un réel À. La matrice A +À.Ba pour trace :
"
"
Il
tr (A + 1 l B) = I, (a;; + 1l bii) = I, a;; + À I, bu = 0
i =I
i= I
i=I
Ainsi , l' ensemble des matrices de tai lle n x n, à coefficients réels, de trace nulle, est bien un
sous-espace vectoriel de M 11 (1R).
MiM Soit E un JR-espace vectoriel, etf une application linéaire de E telle que :
f
2 - 5 f + 6 idE = Û
L a relation précédente peut s' écrire sous la forme:
Considérons un élément x de Ker (f - 2 idE) n Ker (f - 3 idE). On a alors :
(f - 2 idE) (x) = 0 , (f - 3 idE) (x) = 0
et donc :
f(x) = 2x , f(x) = 3x
Il en résulte, de façon évidente : x = O. Ainsi :
Ker(j - 2idE) n Ker(f - 3 idE) = {0}
D 'autre part, il est intéressant de remarquer que, pour tout x de E:
x = f(x) - 2 x - (f(x) - 3 x)
Comme (f - 2 idE) o (f - 3 idE) = 0, on a donc :
(f - 2 idE) (f(x) - 3 x) = 0 ~ f(x) - 3 x E Ker(/ - 2 id,;,)~ - (f(x) - 3 x) E Ker(f - 2 idE)
et :
(f - 3 ide) (/(x) - 2x) = 0 ~ f(x) - 2 x E Ker(f - 2 idE)
Tout élément de E se décompose donc comme somme d'un élément de Ker(f - 2idE) et d'un
élément de Ker (f - 3 idE) :
E = Ker(f - 2idE) + Ker(f - 3 idE)
363
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