1:l
0
c::
::J
0
v
...-!
0
N
@
~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
3
3
À cet effet, on considère deux polynômes P = ~ ak Xk et Q = ~ f:Jk Xk de degré inférieur ou
k=O
k=O
égal à 3, à coefficients réels, ainsi qu'un réel À. O n a alors:
3
3
3
P + /l Q = ~ ak Xk + À ~f3k Xk = ~(ak + tlf3k) Xk E ll~-3[XJ
k=O
k=O
k=O
Ainsi, le polynôme P + /l Q appartient à IR. 3 [X], qui est bien un sous-espace vectoriel de Ill[X].
MtM On se place dans J' espace vectoriel C ([0, l] , R ) des fonctions continues sur l'intervalle
[0, 1], à valeurs dans Ill. Montrons que 1 'ensemble des fonc tions continues sur lintervalle [0, 1],
à valeurs dans R , s ' annulant en 0, est u n sous-espace vectoriel de C ([0, 1], JR.).
À cet effet, on considère deux fonctions f et g continues sur [O, 1), à valeurs dans R , ainsi qu'un
réel 1 l. On a alors :
(f + tlg)(O) = j(O) + /lg(O) = 0
Ainsi, la fonction f + Àg s'annu le bien en 0: l'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle
[0, l], à valeurs dans R , s'annulant en 0, est bien un sous-espace vectoriel de C ([0, 1], R).
Mf:M On se place dans l'espace vectoriel C ([0, 11, R ) des fonctions continues sur l'intervalle
[O, 1], à valeurs dans Ill. Montrons que l'ensemble C
1 ([0,1], Ill) des fonctions de classe C
1 sur
l'intervalle [O, 1], à valeurs dans R est un sous-espace vectoriel de C ([0, 1], R).
Déjà, C
1 ([0, l], R) c C ([0, l], R). Considérons ensuite deux fonctions f et g continues sur [0, l] ,
à valeurs dans R , de classe C
1 sur [0, l], ainsi qu'un réel 1l. Il est clair que f + 1l g est de classe
C
1 sur [0, 1] : C
1 ([0, l], R) est bien un sous-espace vectoriel de C ([0, 1], R).
Mijl On se place dans 1' espace vectoriel C ([ - 1, 1], R) des fonctions continues sur l'intervalle
[- 1, 1], à valeurs dans R Montrons que les ensembles
C+ = {f E C ((- 1, 1), Ill), f paire}
c- = {/ e C ([- 1, l], R), f impaire}
sont deux sous-espaces supplémentaires de C ([ - 1, 1], Ill).
À cet effet, on considère deux fonctions ft et fi, continues sur [- 1, 1 ], à valeurs dans R, paires,
ainsi qu'un réel À. II est clair que la fonction f 1 + À fi est de classe C
1 sur [ - 1, l], et qu'elle est
paire:
V x E [- 1, 1] : (f1 + tlfi)(- x) = f1( - x) + tlfi(- x) = f1(x) + /lfi(x) = (f1 + /lfi)(x)
c+ est donc bien un sous-espace vectoriel de C ([- 1, 1], R ).
De même : considérons deux fonctions g 1 et g 2 , continues sur [- 1, 1], à valeurs dans Ill, impaires,
ainsi qu'un réel /l. II est clair que la fonction f1 + Af2 est de classe C
1 sur [- 1, l], et qu'elle est
impaire:
c- est donc bien un sous-espace vectoriel de C ([- 1, 1], R ).
Considérons maintenant une fonction f de l'intersection c+ n c- :
V x e [- 1, 1] : f( - x) = f(x) = - f(x)
Il en résulte :
Vx E [- 1,l]: f(x)=O
f est donc l'application identiquement nulle sur [ - 1, 1) : c+ n c- = (Oc-1. 1 1}.
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À cet effet, on considère deux polynômes P = ~ ak Xk et Q = ~ f:Jk Xk de degré inférieur ou
k=O
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égal à 3, à coefficients réels, ainsi qu'un réel À. O n a alors:
3
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P + /l Q = ~ ak Xk + À ~f3k Xk = ~(ak + tlf3k) Xk E ll~-3[XJ
k=O
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Ainsi, le polynôme P + /l Q appartient à IR. 3 [X], qui est bien un sous-espace vectoriel de Ill[X].
MtM On se place dans J' espace vectoriel C ([0, l] , R ) des fonctions continues sur l'intervalle
[0, 1], à valeurs dans Ill. Montrons que 1 'ensemble des fonc tions continues sur lintervalle [0, 1],
à valeurs dans R , s ' annulant en 0, est u n sous-espace vectoriel de C ([0, 1], JR.).
À cet effet, on considère deux fonctions f et g continues sur [O, 1), à valeurs dans R , ainsi qu'un
réel 1 l. On a alors :
(f + tlg)(O) = j(O) + /lg(O) = 0
Ainsi, la fonction f + Àg s'annu le bien en 0: l'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle
[0, l], à valeurs dans R , s'annulant en 0, est bien un sous-espace vectoriel de C ([0, 1], R).
Mf:M On se place dans l'espace vectoriel C ([0, 11, R ) des fonctions continues sur l'intervalle
[O, 1], à valeurs dans Ill. Montrons que l'ensemble C
1 ([0,1], Ill) des fonctions de classe C
1 sur
l'intervalle [O, 1], à valeurs dans R est un sous-espace vectoriel de C ([0, 1], R).
Déjà, C
1 ([0, l], R) c C ([0, l], R). Considérons ensuite deux fonctions f et g continues sur [0, l] ,
à valeurs dans R , de classe C
1 sur [0, l], ainsi qu'un réel 1l. Il est clair que f + 1l g est de classe
C
1 sur [0, 1] : C
1 ([0, l], R) est bien un sous-espace vectoriel de C ([0, 1], R).
Mijl On se place dans 1' espace vectoriel C ([ - 1, 1], R) des fonctions continues sur l'intervalle
[- 1, 1], à valeurs dans R Montrons que les ensembles
C+ = {f E C ((- 1, 1), Ill), f paire}
c- = {/ e C ([- 1, l], R), f impaire}
sont deux sous-espaces supplémentaires de C ([ - 1, 1], Ill).
À cet effet, on considère deux fonctions ft et fi, continues sur [- 1, 1 ], à valeurs dans R, paires,
ainsi qu'un réel À. II est clair que la fonction f 1 + À fi est de classe C
1 sur [ - 1, l], et qu'elle est
paire:
V x E [- 1, 1] : (f1 + tlfi)(- x) = f1( - x) + tlfi(- x) = f1(x) + /lfi(x) = (f1 + /lfi)(x)
c+ est donc bien un sous-espace vectoriel de C ([- 1, 1], R ).
De même : considérons deux fonctions g 1 et g 2 , continues sur [- 1, 1], à valeurs dans Ill, impaires,
ainsi qu'un réel /l. II est clair que la fonction f1 + Af2 est de classe C
1 sur [- 1, l], et qu'elle est
impaire:
c- est donc bien un sous-espace vectoriel de C ([- 1, 1], R ).
Considérons maintenant une fonction f de l'intersection c+ n c- :
V x e [- 1, 1] : f( - x) = f(x) = - f(x)
Il en résulte :
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f est donc l'application identiquement nulle sur [ - 1, 1) : c+ n c- = (Oc-1. 1 1}.
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