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par blocs de la matrice B permettra d'en déduire facilement ses puissances kièmes, k E .N*. On
calcule alors :
2 -(A2 2A2)
B -
0 A2
puis, par récurrence immédiate :
N
Il en résulte, pour tout polynôme p = I. k=O
P(B) =
soit:
3 - (A 3 3A . 3)
B - 0 A3
= [ P(A) t. ka, A']
0
P(A)
P(B) = [P(A) A ±kakAk- l l = (P(A) A P'(A))
k=t
0
P(A)
0
P(A)
Ainsi, s'il existe un polynôme P scindé à racines simples annulant la matrice B , ce polynôme
annule aussi la matrice A : elle est donc diagonalisable.
En passant dans la base de diagonalisation, on en dédui t, pour toute valeur propre À de A :
A P'(,t) = 0
Comme P annule la matrice A : P(À) =O. Pétant scindé à racines simples, on a donc P'(,t) :t O.
li en résulte, pour toute valeur propre À de A : /l = O. A étant semblable à la matrice nulle est
donc la matrice nulle.
Réciproquement, il est clair que si A est la matrice nulle de taille nx n, la matrice B est la matrice
nulle de taille 2 n x 2 n.
M~W On se place dans 1 'espace JR 3 . Montrons que 1'ensemble1) des vecteurs de composantes
(x, y, z) tels que
est un sous-espace vectoriel de JR. 3 .
{
2x-y+ z = 0
x+y-z = 0
À cet effet, on considère les vecteurs de V composantes respectives (x, y, z) et (x', y', z'), ainsi
qu' u n réel À. On a alors :
{
2 (x +À x') - (y+ y')+ (z + z') = 2 x - y + z + À (2 x' - y' + z' ) = 0
(x + Â x') + (y + À y') - (z + À z') = x + y - z + À (x' + y' - z') = 0
Ainsi, Je vecteur de composantes (x+ À y+ À y', z+ À z') appartient à V, qui est bien un sous-espace
vectoriel de R. 3 .
Md On se place dans 1 'espace vectoriel JR[X] des polynômes à coefficients réels. Montrons
que l'ensemble lR3[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, à coefficients réels, est un
sous-espace vectoriel de JR[X].
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