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>a.
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u
Grâce au résultat de la question précédente, on peut prendre u, = [: }
La relation M u2 = - u2 + u1 s'écrit aussi: (M + l3) u2 = u1 .
En multipliant à gauche par M + T 3 , on en déduit :
puisque la relation M u 1 = - u 1 s'écrit aussi (M + T 3 ) u 1 =O.
De même que précédem ment, la relation M u 3 = - u 3 - a u 2 s'éciit:
(M + h)u3 = - au2
En multipliant à gauche par (M + / 3 )2, on en déduit :
On calcule ensuite :
[
o o o l
(M + h)
2
= 0 a -a
0 a -a
Un vecteur [ n appartient donc au noyau de ( M + /3 )
2 si : o y - œ z = 0
Le vecteur [ ~] appartient à ce noyau, et est indépendant de"'.
Le vecteur u3 = [ ~ ] forme une fa mille libre avec u, et u2 : ( u, , "" u3) est une base de IR
3 .
Soit Pla matrice de passage à la base (u1, u2, u3) :
p = 100
[
o 1 o l
Comme On calcule:
[
o 1 ol
p - l = 1 o. 0
0 - 1 l
T est une matrice triangulaire supérieure.
1 0 1
[
- 1 1 0 l
T = p1 M P = 0 - 1 - a ···
0 0 - (
Mii Soit A une matrice de taille nxn, à coefficients réels. On considère la matrice triangulaire
supérieure par blocs de taille 2 n x 2 n :
B=(~~)
Comme on ne connaît rien sur la matrice A et quel' on cherche à obtenir des informations sur cette
matrice, le plus judicieux est d'utiliser le théorème de cours le plus adapté : ici , celui donnant
l'équivalence entre l'existence d'un polynôme scindé à racines simples annulant une matrice, et
sa diagonalisabilité, semble le plus indiqué, dans la mesure où la forme triangulaire supérieure
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