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43.a) Le polynôme caractétistique de M est :
- 1 - /l
a
- a
det(M - À '3) =
l
- 1 - Il 0
0 - 1 - À
- 1 - /l
0
- œ
=
1
- 1 - À
()
1
- 1 -À- l -À
= - (1 + À)
- 1- À 0 -a
1 0
1 - 1 -À
-1- À0 - œ
= - (1 +À) 0 l 0
0
1 - J - À
1 0 - œ
= (l +1l) 2 01 0
0 1 - 1 - À
=
- (Il+ 1) 3
- 1 est donc valeur propre triple de M.
43.b) Le sous-espace propre E- 1 associé à la valeur propre - l est l'ensemble des X = [ ~] e IR
3
vétifiant MX= - X, soit:
43.c)
[
-x+ œy - œzl
[x]
x - y
= - y
x-z
z
ce qui conduit à:
{
a(y - z) = 0
X
= Û
z = 0
et donc : y = z , x = y = O.
Tout vecteur solution est donc de la forme : [ ~ ] = y [t l où y peut prendre n'importe
quelle valeur dans R, et joue donc le rôle de paramètre. Il en résulte :
Le polynôme caractéristique de M étant scindé, elle est trigonalisable .
Pour la trigonaliser, il faut déterminer trois vecteurs u 1 , u 2 , u 3 de JR. 3 , formant une famille
libre, et tels que :
{
Mu1=
- u1
M u2 = - u2 + u r
M u 3 = - u 3 - œ u2
359
Il\
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u
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u
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