"O
0
c::
::J
0
v
..-!
0
N
@
~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
Le sous-espace propre E b+(n- l )a associé à la valeur propre b + (n - l)a est l' ensemble des
X= [~
1
] E Ill
11 véri fiant A X= (b + (n - l)a)X, soit :
Xn
soit:
{
bx1 + ax2+ ... +ax 11 =(b+(n - l )a)x1
ax, + bx2+ ... +ax 11 = (b+(n - l )a)x2
ax1 + ... + ~Xn-1 + bx 11 = (b + (n - l )a)x 11
{
ax, + ... +ax11
= nax1
a x1 + a x 3 ~ . . . + a x,, = na x2
a x 1 + ... + a x 11
= n a x 11
ce qui conduit à : nax1 = nax2 = ... = nax 11 , puis : x1 = X2 = ... = x 11 .
Tout vecteur solution est donc de la forme: x1 [ ; l où x1 peut prendre n' importe quelle valeur
dans R, et joue donc le rôle de paramètre. Il en résulte :
Le sous-espace propre Eb-a associé à la valeur propre b - a est l' ensemble des X= [~
1
] E Ill
11
X11
vérifiant A X = (b - a) X, soit :
{
b X1 + a X2 + ... +a X11 = (b - a) X1
a X1 + b X2 + . . . +a X11 = (b - a) X2
ax1 + ... + ~Xn-1 + bx11 = (b - a)x11
soit: a xi + a x2 + ... +a x 11 =O.
La famille des n - l vecteurs
- 1
0
0
solutions: c'est une base de E b- a ·
0
0
- 1
0 ' .. .,
0
0
1
- 1
est une famille libre de n - 1 vecteurs
MN Soit œ un réel non nul. On considère la matrice M = [ :
1
~! ~ l
358