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La matlice de passage P2 à cette base est :
( -4 1)
Pi= l l
On calcule
p-1 = ~ (-1 1)
2
5
1 4
40.d) M 2 est donc semblable à la matrice
-1
(-1 0)
D2 = P 2 M2 P2 = O 4
D 2 est clairement inversible. Il en est donc de même pour M 2 .
40.e) Pour tout entier naturel non nul n :
M~ = (P2 D2 P2_
1
)" = P2 D2 P2_
1 P2 D2 P2_
1
. . . P2 D2 P2_
1 = P2 D~ P2_
1
soit:
M" = p ( ( - 1 )
11
0 ) p- 1
2
2
0 4 11
2
MIM O n considère la matJice carrée d ' ordre 3 :
M = r:l ~l =~ l
- 1 - 1 3
Son polynôme caractéristique est :
3 - X - 1 - 1
det(M - X l3) =
- ) 3 - X - 1
- )
- 1 3 - X
4 - X - 1
0
=
X - 43 - XX - 4
0
- 1 4 - X
- 1 - 1 0
= (X-4) 2 1 3 - X 1
0 - 1 - 1
= (X-4)2(-(X-3+1)+1(-1))
=
(X - 4 )
2 (1 - X)
(on retranche la colonne 2
aux colonnes 1 et 3)
Ainsi, le spectre de la matrice M est: {4, l}. 4 est valem propre double (ou d'ordre 2), 1 est valeur
propre simple (ou d'ordre 1).
Déterminons le sous-espace propre E 4 associé à la valeur propre 4 :
MX=4X
355
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