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On calcule
p-1 = ~ ( 1 2)
l
5 - 2 1
39.d) M 1 est donc semblable à la matrice
Di est clairement non inversible. Il en est donc de même pour Mi.
39.e) Pour tout entier naturel non nul n :
soit :
M" = p (5' 1 0) p- 1
1
1
0 0
1
Mui On considère la matrice
Mi= ( ~ ~)
40.a) Pour déterminer les valeurs propres de Mi, on calcule son polynôme caractéristique :
40.b)
= - A(3 - A) - 4
= À
2 - 3 A- 4
=(À + l)(A - 4)
Le spectre de la matrice M 2 est donc {- 1 , 4) .
On peut aisément vérifier la cohérence de ce résultat en remarquant que la somme des
valeurs propres obtenues, c'est-à-dire
- 1+4 = 3
est bien égale à la trace de la matrice, qui vaut aussi 3.
On peut, aussi , déjà remarquer que la matrice M 2 est diagonalisable, puisque l'on est en
dimension 2, et qu'elle admet deux valeurs propres distinctes.
Déterminons les sous-espaces propres de M 2 .
Le sous-espace propre E_ 1 associé à la valeur propre 0 est l'ensemble des vecteurs de la
forme ( :)tels que
M (X) - - (X)
i
y -
y
soit:
(~~) (;)= - (;)
353
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