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Ol
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>a.
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En composant par r2 , on en déduit :
À1 r1 (xo) = 0 ~ /l) = 0
Puis, en itérant le procédé, par récun-ence :
À11-I. = 0 '
La famille '13, de cardinal n dans un espace de dimension n, est donc libre: c'est une base.
La matrice de f dans cette base est :
0 0 0 ...... 0
l 0 0
·. 0
0
0
·. 0
A13(f) =
0 0
·. 0
0 ...
·. 0
0
0 l 0
Il en résulte :
det(J + ld' dl_n ) = 1
38.c) • Dans Je cas où g est inversible, on commence par montrer que g1 commute avec f:
f 0 g = g 0 f ~ g1 0 f 0 g = g-) 0 g 0 f
350
(on compose à gauche par g1
) soit:
g-1 of og = f
De même, en composant à droite par g- 1 , on en déduit:
g- 1 ofogog- 1 =fog- 1
(on compose à gauche par g1
) soit :
g-1 0 f = f 0 g-1
On en déduit alors que f o g1 est nilpotent d'ordre n:
puis:
det(f + g) = det[(! o g1 + ldR,, ) o g] = det(! o g1 + Id' ill." ) detg = detg
puisque, f o g1 étant nilpotent d'ordre n:
det(! o g1 + ld 1 ~ ) = 1
• Dans le cas où g est inversible, comme g commute avec f, la formule du binôme
s'applique:
Il
(f + g)'I = ~Ckfk n-k
L.i " og
k=O
11-I.
~Ckfk
n-k
= L.i n og
k=O
( ~ ck1·k n-1 -kl
= L.i 11 og
og
k=O