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Or:
(f + g)(IR.") c /CR.") + g(R") ~ R" c f(R
11
) + g(JR")
!R" étant le plus grand de ses sous-espaces, il en résulte:
On applique ensuite la formule de Grassmann, qui donne la dimension d' une somme de sousespaces vect01iels :
dim R" = dim (f('R!
1
) + g(R")) = dim(f(R")) + dim(g(R")) - dim (f(lR.
11
) n g(JR.
11
))
La quantité dim (j{IR") n g(JR'
1
)) étant positive ou nulle, il en résulte :
dim Ill" ::;; dim (/(Ill")) + dim(g(iR"))
soit:
dim JR.
11
::;; rg f + rg g
soit, grâce à la formule du rang :
dim IR." ::;; dim R.
11
- dim Ker f + rg q
et donc:
dim Ker f ~ rgg
soit:
dim Ker f::;; dim Img
L'inclusion Img c Ker f et l'égalité des dimensions permettent de conclure:
Img =Ker f
Ml:I Soit f une application linéaire de R.
11 nilpotente d'ordre n, c'est-à-dire telle que:
!" = 0 et r-l * 0
(la puissance est au sens de la composition).
38.b) Commer1 *0, il existe un élémentx 0 de !R.
11 tel que:
r1
(xo) * 0
Considérons alors la famille des n vecteurs :B = ( xo, f(xo), f
2 (xo), . .. , r -
1
(xo) ) , et montrons que c'est une famille libre de Ill".
À cet effet, on suppose qu'il existe n réels 1lo, tl1, 112, ... , /l,,_1 tels que:
11- I
1lo xo + tl t f (xo) + ... + tln- 1 f''1
(xo) = L tlk fk (xo) = 0
k=O
En composant par /
11
-
1 , on en déduit:
11- I
et donc : ,i, f(xo) + . .. + ,i,,_ 1 r1
(xo) = I ,ik l k=O
349
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