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Par suite: y E Kercp
2
= Kercp. Par suite: y= cp(x) = 0, ce qui conduit à: KercpnI mcp = {0},
et donc:
Kercp + Imi.p = Kercp ffi Imcp
D'après le théorème du rang: dim Kercp +dim Imcp = n = dim R". Comme Keri.p +Imi.p c
JR.
11
, on en déduit :
Ker i.p ffi I m i.p = JR.
11
• Réciproquement, supposons que Ker cp ffi I m cp = IR.".
De façon évidente, Keri.p c Kercp 2 , puisque, pour tout x de Kercp:
cp
2 (x) = i.p (cp(x)) = cp(O) = 0
Considérons maintenant un élément x du noyau de cp
2 ; on a alors : i.p
2 (x) = 0, soit :
cp (cp(x)) = 0
li en résulte: cp(x) E Keri.p. Or, par construction: i.p(x) E Imi.p.
Par suite: i.p(x) E Kercp n Imcp = {0}, puisque Kercp et Imcp sont en somme directe. On en
déduit finalement :
Kercp
2 c Kercp
ce qui conduit alors à Keri.p = Kercp 2 , puisque l'on avait déjà l'inclusion dans l'autre sens.
Ce résultat peut aussi se démontrer en considérant la restriction 'PIIm ip de cp à I m cp; l'injectivité de 'PII"'"'' qui se traduit par
Ker équivaut à sa surjectivité, qui se traduit par :
Im 2 = Imcp
Par la formu le du rang, compte tenu des inclusions évidentes:
Imcp
2 c Imcp et Kercp c Kercp
2
on a aussi: Imcp
2
= Imi.p ~ Keri.p = Kercp
2 .
Et, d ' après ce qui précède :
Keri.pnimcp = {0} ~ Keri.pffiimcp
MM Soient f et g deux applications linéaires de JR.
11 telles que:
f o g = 0 et f + g injective
Comme f o g = 0, on en déduit :
Img c Ker f
Il est naturel de se demander si l'on n ' aurait pas l' inclusion dans l' autre sens. À cet effet, on va
utiliser la seconde hypothèse, et le fait que l' on est en dimension finie:
f + g injective
L' injectivité de f + g équivaut donc à sa surjectivité:
(f + g)(JR.
11
) = JR.
11
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