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La famille :
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- 1
est une famille den - l vecteurs libres du noyau de f + l dR!' : celui-ci est donc de dimension au moins égale à n - 1. f + ldR,, n'est pas injective, et ce n'est pas un automorphisme
de R" .
Comme f +Ida,, n'est pas l'application identiquement nulle, son noyau ne peut être de
dimension n .
35.c) Le noyau de f - (n - 1) idR,, est l'ensemble des vecteurs [ X:
1
] tels que
X11
(Ar - (n - 1)1,) GHJ
soit :
{
- (n - 1) x1 + x2 + ... + X11 = 0
xi - (n - 1) x2 + ... + X11 = 0
X1 +.": ·~ · ;,:~I· ~ (~·~ l) Xn : ~
ou encore :
{
XJ + X2 + ... + X11 = n X1
X1 + X2 + .. . + X11 = nx2
x;;;;'.· .; ;1 1 : n~n
ce qui conduit à :
n X1 = n x2 = ... = n x 11
Les vecteurs du noyau de f - (n - l) l dl ' i t. " sont donc de la forme :
X, [il
Il en résulte:
Ker(/- (n - l) Id • • ) = Vec1 {[; ]}
Mt# Soit cp une application linéaire de R
11
•
Keri.p = Keri.p
2
~ R" = Kercp œ im1.p
• Supposons Ker1.p= Ker1.p 2 ,etconsidéronsunélémentydeKer1.pnim1.p;commey E Imi.p,
il existe x dans R" tel que y = cp(x). Il en résulte:
i.p(y) = cp(i.p(x)) = 0
347
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