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32.b) On a: detAf = 6 - ( - 1) = 7 *O.
La matrice A r est donc inversible, ce qui signifie que f est un automorphisme de !R.
2 ,
c' est-à-dire une application linéaire bijective de R.
2 dans R.
2 .
32.c) Le noyau de f est l 'ensemble des vecteurs (;) tels que :
soit:
{
3x - y=O
x+ 2y = 0
La seule solution possible est : x = y = O. f est donc injective, puisque son noyau est
réduit au vecteur nul ; elle est donc bijective : on retrouve le résultat précédent.
32.d) L'application réciproquer' a pour matrice, dans la base canonique
- 1
(
) - '
Af = Af
La matrice inverse A.f
1 s' obtient soit par l'algorithme de Gauss-Jordan , soit, beaucoup
plus simplement, en utilisant la formule :
-l
1 1
A 1 . = - - ComA r
·
detA.1
·
ce qui conduit à :
A-' _ ~ ( 2 l)
f - 7 - 1 3
Il en résulte, pour tout vecteur (x, y) de R.
2 :
1 X =A - 1 ( X ) = ~ ( 2 l)(x)= ~ ( 2x + y)
r (,y)
f
y
7 - 13
y
7 - x + 3y
••
33.b) g : Ill
3 --+ R., (x, y, z) H cos(x y z) :
pour déterminer si g est linéaire, il faut comparer, pour tout réel À et ((x, y, z), (x' , y', z')) e
R_3 X R_3 :
g(À(x,y, z) + (x',y', z')) et /Ig(x,y,z) + g(x',y',z')
Or, clairement :
g (À (x, y, z))) = cos(11
3 x y z) * 11 g(x, y, z)), en général
puisque l'application cosinus n'est pas linéaire.
g n ' est donc pas linéaire.
33.c) h : R.
3 --+ R.
3 , (x, y, z) H (x +y + z, x - y + z, 0) :
344
pour déterminer si h est linéaire, on calcule, pour À e Ill et
((x, y, z), (x', y', z')) e R
2 x R.
2 :
h(À(x,y, z) + (x',y', z')) =(/lx + x' + /ly + y' + /lz + z',Ax + x' - /ly - y'+ /l z + z' , 0)
et :
À h.(x, y, z) + h(x', y', z') = (À (x +y + z) + x' + y' + z' , À (x - y + z) + x' - y' + z', 0)