"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
30.c) Le volume orienté du parallélépipède OABCDEFG est donné par:
••
'Vp = det OA, OC, OD
(
---t ~ ~)
1 1 1
soit : ~v p = a
2 c
2 d
2 . On reconnaît un déterminant de Vandermonde :
a4 c4 d4
31.a) f: R. 2 4 R. 2 , (x,y) H (4x + y,2y + x):
pour déterminer si f est linéaire, on calcule, pour À dans R., et ((x, y), (x', y')) E R.
2 x R.
2 :
et :
Comme:
f (À (x, y)+ (x', y')) = (4 (À x + x') + /l y + y', 2 (À y + y') + À x + x')
= ( 4 À X + 4 X + À y + y' , 2 /l y + 2 y' + À X + X
1
)
À f (x, y) + f (x', y') = ( 4 ;i x + 4x' + /l y + y' , 2 À y + 2 y' + /lx + x')
f (/l (x, y) + (x' , y')) = À f(x , y) + f(x', y')
l'application f est donc bien linéaire.
Sa matrice A.r est telle que :
V (x, y) E R.
2
: /(x, y) = A.r (:)
ce qui conduit à :
A.r = ( ~ ~)
31.b) ÇJ : R.
2
~ R., (x, y) H sin(x y) :
pour déterminer si g est linéaire, il faut comparer, pour tout réel À et ((x, y), (x', y')) E
R_2 X R_2 :
g (,l (x, y)+ (x', y')) et À g(x, y) + g(x' , y')
Or, clairement :
g(À(x,y))) = sin(À
2 xy) * Àg(x,y)), engénéral
puisque l'application sinus n'est pas linéaire. g n'est donc pas linéaire.
Mf# On considère l'application:
f : R.2 ~
JR.2
(x,y) H (3x - y,2y+x)
32.a) La matrice A.1 associée à f dans la base canonique est telle que :
V(x,y) E R.
2
: f(x,y) = A.1 (;)
ce qui conduit à :
(
3 -1)
A.r = 1 2
343
Il\
~
~
u
- n:s
u
Q)
Il\
~
- n:s c:
<(