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28.c)
L'aire non orientée du parallélogramme A 1 A 1A3A4 est :
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On suppose désormais que llA 1A2ll = llA 1A4ll =a> 0, b1 = b2, a4 =ai.
-----7
La condition llA 1 A1ll = a conduit à :
puis: a 2 - a 1 =a, puisque, par hypothèse, a 2 - a 1 >O.
-----7
La condition llA1A4ll =a conduit à:
puis: b4 - b 1 =a, puisque, par hypothèse, b4 - b 1 >O.
L' aire orientée .J(p du parallélogramme A 1 A 1A3A4 vaut alors :
Le parallélogramme A 1 A 2 A 3 A 4 est un carré de côté a.
MpM Soient a, b, c, d des réels non nuls.
Il peut être intéressant de déterminer dans quels cas les points 0, A et B sont alignés; à cet effet,
on calcule simplement :
det(OÂ, os) = 1 ~ ~ 1 =ad-be
Sous réserve que ad - b c * 0, le triangle OAB est donc non aplati.
Calculons l'aire orientée ${T du triangle de sommets 0, A(a, b ), B(c, d) :
31 = ! d (Of\ @) = ! 1 a c 1 = ad - b c
T
2 et
'
2 bd
2
Si les points 0 , A et B sont alignés, le triangle est aplati, et donc d'aire nulle.
L'aire non orientée du triangle de sommets 0, A(a, b), B(c, d) est :
Dans ce qui suit, l'espace euclidien orienté de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé
direct ( 0; l, ], k).
Mil Soient a, b, cd des réels non nuls.
30.a) On considère les points A(l, a
2 , a 4 ), 8(2, a
2 + c
2 , a 4 + c
4 ) , C( 1, c
2 , c
4 ), D(l , d
2 , d 4 ). On re--7
~
marque que: AB= OC, puisque les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées (1 , c 2 , c
4 ) .
Le quadrilatère OABC est donc un parallélogramme.
30.b) On considère les points E, F, G, images respectives de A, B, C par la translation de
~
vecteur OD. Par définition de la translation:
~
~
~
~
OD = AE = BF = CG
OABCDEFG est donc un parallélépipède.
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