"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
MM On considère le plan vectoriel '? 4 dont une représentation paramétiique est donnée par:
{
X= 1 l - µ
y= À+µ ' (1l,µ) E R
2
z =À - µ
'? 4 est l'ensemble des points de coordonnées (x, y, z) tels que:
Soientlt"(l, 1, l)etlf"(-1 , 1, - 1).
'f>4 est donc l'ensemble des triplets (x, y, z) tels que:
(
)
1~"
~,,
.
)
lll>2
x, y, Z = /t u + µ V , (A,µ E ~
Les vecteurs il" et ïl'' n'étant pas colinéaires, ils peuvent donc engendrer un plan.
'? 4 est donc engendré, par exemple, par ïl"(l, 1, 1) et lf"(- 1, 1, - 1)
4 .
Dans ce qui suit, le plan euclidien orienté de dimension 2 est rapporté à un repère orthonormé
direct ( O; 7, l).
Wt:I
28.a) Soient a 1, a2, a 3, a4, b 1, b2, b3, b4 des réels non nuls, vérifiant:
On consi.dère les points A 1 (ai, b1 ), A1(a2, b2), A3(C13, b3), A4(a4, b4).
Pour que le quad1ilatère A 1A2A3A4 soit un parallélogramme, il faut:
c 'est-à-dire: a1 - a, = a3 - a4
b2 - b1 = b3 - b4.
Pour que ce parallélogramme soit non aplati, il faut que les points A 1 (a 1 , b 1 ) , A 2 (a 2 , bz)
----7
----7
et A3(a3, b3) ne soient pas alignés, et donc que les vecteurs A 1 A 2 etA 1 A3 soient libres.
Leur déterminant vaut :
1
a2 - ai a3 - ai 1
b2 - b, b3 - b,
= (a2 - a1)(b3 - b 1) - (b2 - b1)(a3 - a1)
La condition (a 2 - a 1 ) (b 3 - b 1 ) - (b 2 - b 1 ) (a 3 - a 1 ) * 0 doit donc être rajoutée au système
précédent pour que le parallélogramme soit non aplati.
28.b) Lorsque ces conditions sont vérifiées, 1' aire orientée $lp du parallélogramme A 1 A 2 A 3 A 4
est donnée par :
5lp =
=
1
a 2 - ai a 4 - a.1 1
b2 - b1 b4 - b ,
4 . Attention ! Un plan vectoriel étant engendré par une infinité de couples de vecteurs, ce n'est qu' un
exemple parmi d'autres ; 211
11 et 3Û" engendrent également 'P 4 •
341
Il\
~
~
u
- n:s
u
n:s
c:
<(