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>a.
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u
ce qui conduit à :
{
À = µ
SA= 0
5µ = 0
La seule possibilité est donc : 1l = µ = O. Les vecteurs il et i! sont donc linéairement
indépendants ( « libres»).
20.b) il= (2, 1, 3), Û= (4, 2, 6):
on remarque que û = 2 a; les vecteurs i1 et û ne sont donc pas linéairement indépendants,
puisque:
i! - 2Û= 0
20.c) i1=(3,2, 1), Û= (3, 0, 1):
de même qu'en a., supposons donc qu'il existe deux réels À etµ tels que :
soit:
soit:
{
3 A + 3µ = 0
2A
= 0
1l+µ =Û
ce qui conduit à : À = µ = O. Les vecteurs i1 et i! sont donc linéairement indépendants
( « libres »).
20.d) il= (2, 4, 6), Û= (4, 2, 6), w = (6,4, 2) :
20.e)
338
246
123
1 1 2
det(û,i!,w)= 424 =2
3 212 =2
3 2 - 1 o
6 6 2
3 3 1
3 0 - 2
(on factorise chaque colonne par 2, d'où le 2 3 en fac teur du déterminant, puis on retranche
la première colonne à la seconde et à la troisième)
soit:
1 1 1
det (il, Ü, W) = 2
4 2 - 1 Û = 2
4 (3 X (- (- 1)) + (- 1) X (- 1 - 2)) = 2
4 (3 + 3)
3 0 - 1
(on factorise la troisième colonne par 2, puis on développe par rapport à la dernière ligne)
soit :
det ( Û, Ü, w) = 2
4 X 6 = 96 i= 0
Les vecteurs il, il, w sont donc libres.
i1=(- 1,0,1), Û= (1, 1, 1), ID= (0, 1, 2):
- 1 l 0
det (il, il, w) = 0 1 1
1 l 2
- 1 0 0
= 0 11 =Û
1 2 2
(on ajoute la première colonne à la seconde; le déterminant obtenu est nul, car les colonnes 2 et 3 sont alors identiques)
Les vecteurs il, û, w sont donc liés.