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• Seconde éta pe : élimination
À l'aide d'opérations élémentaires, on élimine les coefficients de x des autres lignes du système. lei, il faut soustraire 2 fois la première ligne (ligne du pivot) à la seconde, et 3 fois la
première ligne à la troisième, ce qui conduit à :
{
x - y - z = 4
O + 4y + 3z = - 13
O + 2y - 2z = - 6
• Retour à la première étape avec le pivot suivant.
(90. 1)
• L'algorithme se termine à la troisième ligne. De la forme triangulaire du système équivalent
obtenu, on en déduit le triplet (x, y, z) solution.
Ici, la suite des étapes donne (pivot : coefficient de y) :
{
X -
y - Z = 4
0 + y - z = - 3
O + 4y + 3z = - 13
(échange des lignes 2 et 3), puis (pivot : coefficient de y) :
{
x - y - z= 4
0 + y + z = - 3.
0
- z = - ]
(90.2)
(90.3)
On en déduit z = 1, puis y = - 4, et enfin x = 1. Afin de parer aux éventuelles erreurs de
calcul, il est préférable de vérifier que ce triplet est bien solution (ce qui est bien le cas ici !).
{
x + a y + a
2 z = a
4
MijM Résolvons : x +y + z = 1 , a
x - y+ z = - 1
E !R,*.
La matrice du système est :
Son déterminant vaut : 2 - 2 a 2 .
Ce déterminant est non nul pour a t 1 et a t - 1. Dans ces cas uniquement, il admet une solution
unique.
Si a = 1, les deux premières équations du système sont les mêmes : ce système est alors équivalent à :
{
x+y+ z = l
x-y+z = - 1
qui admet une infinité de solutions (correspondant aux coordonnées des points de la droite intersection des plans d'équations respectives x + y + z = l et x - y + z = - 1 dans l'espace euclidien
orienté de dimension 3).
Si a= - 1, le système s'écrit:
{
x - y+ z = 1
x+y+z = 1
x-y+z = - 1
ce qui est impossible (il suffit de soustraire la ligne 3 à la ligne 1 pour s'en rendre compte) : le
système n'admet pas de solution dans ce cas.
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