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• On a: A
2
=
(n - 1) a
2 (n - 2) a
2 ...
(n - 2)a 2 (n - l)a 2
(n - 2) a
2
(n - 2)a
2
· ·. (n - 1) a 2 (n - 2) a 2
... (n - 2) a
2 (n - 1) a
2
A
2 s'écrit donc sous la forme: A
2
= /l. A + µIll, avec :
/l. = (n - 2)a , µ = (n - l)a
2
• On remarque que: A (A - /l. lll) =(A - 1 ll 11 )A = µ ! 11
La matrice A est donc inversible, puisque a * 0, et n ;;;;. 2, de mat1ice inverse :
-1
1
A = - (A - /l. /11)
µ
Mt4 On considère les matrices : M = (; ; ) , P = ( ~ ~ 1 ).
17.a) Comme detP = - 3 - 1 = - 4 * 0, Pest inversible.
On calcule: p -
1 = l ( ~ ! 3
)·
17.b)
p- 1 MP = (~~) 2
17.c) Pour tout entier naturel n 3 :
(P- 1 M P)" = p - 1 M P p - t M P ... P- 1 M P = P- 1 Mil P
par récurrence immédiate.
Posons: p1 M P = ( ~ ~) = D.
On montre alors par récurrence que, pour tout entier naturel n :
011 = (6
11
0)
0 2"
Par suite, comme : p- 1 Mil P = Dll, on en déduit:
Ml:M Résolvons:
· 1 -
n -1-(21l-2(311+I+1) 3 X 211-2(3" - 1))
M' - p D p -
21l- 2 (311 - . 1)
211- 2 (3" + 3)
{
x - y - z=4
2x + 2y + z = - 5
3x - y - z = 6
• Première étape : choix du pivot
On choisit un« pivot», dont le choix est conditionné de façon à faciliter les calculs. Le mieux
est, bien sûr, de choisir comme pivot un des coefficients non nuls du système. Pour pouvoir
effectuer un tel choix, il peut être nécessaire de procéder à des échanges de Hgnes. Ici, le
choix le plus naturel est donc de prendre le coefficient de x comme pivot.
2. p1 M P étmlt une matrice diagonale, on a donc, s
3. Le résultat est encore vrai au rang 11 = 0 : M 0 = ln.
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• On remarque que: A (A - /l. lll) =(A - 1 ll 11 )A = µ ! 11
La matrice A est donc inversible, puisque a * 0, et n ;;;;. 2, de mat1ice inverse :
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17.a) Comme detP = - 3 - 1 = - 4 * 0, Pest inversible.
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17.c) Pour tout entier naturel n 3 :
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par récurrence immédiate.
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On montre alors par récurrence que, pour tout entier naturel n :
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Par suite, comme : p- 1 Mil P = Dll, on en déduit:
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2x + 2y + z = - 5
3x - y - z = 6
• Première étape : choix du pivot
On choisit un« pivot», dont le choix est conditionné de façon à faciliter les calculs. Le mieux
est, bien sûr, de choisir comme pivot un des coefficients non nuls du système. Pour pouvoir
effectuer un tel choix, il peut être nécessaire de procéder à des échanges de Hgnes. Ici, le
choix le plus naturel est donc de prendre le coefficient de x comme pivot.
2. p1 M P étmlt une matrice diagonale, on a donc, s
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