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>a.
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u
15.d) On remarque que la formule obtenue reste encore vraie lorsque les x;, i = 1, . . . , n, ne
sont pas deux à deux distincts .
. ,.
16.a) • detA = 1 x 5 - 2 x 2 = 5 - 4 = 1 * O.
16.b)
16.c)
334
La matrice A est donc inversible, puisque son déterminant est non nul. La matrice
inverse A1 s'obtient soit par l'algorithme de Gauss-Jordan, soit, beaucoup plus simplement, en utilisant la formule :
1
A1
= - - 'ComA
det A
. d . , A t ( 5 -2)
ce qm con mt a: - = _ 2 1
.
• detB = - 1 ::f:. 0 (il suffit d'échanger les colonnes 1 et 2, le signe moins vient de
l'échange des colonnes).
La matrice B est donc inversible, puisque son déterminant est non nul. La matrice
inverse s1 s'obtient soit par l'algorithme de Gauss-Jordan, soit, beaucoup plus simplement, en utilisant la formule :
ce qui conduit à: s1
= B.
12 - 1
22 - 1
1
s1
= - - 'ComB
detB
• detC = 1 0 1 = 0 0 1 = 2x(- 1) = - 2 ::f:. O(onretranchelatroisièmecolonne
212
012
à la première, puis on développe par rapport à la première colonne).
La matrice C est donc inversible, puisque son déterminant est non nul. La matrice
inverse c- 1 s'obtient soit par l'algorithme de Gauss-Jordan, soit, beaucoup plus simplement, en utilisant la formule :
1
c1
= --'ComC
detC
cequiconduità:c1
=[ ~l ;j ~
1
]= l ( ~ ~4 ~
2
] .
-- -- 1
- 1 - 3 2
2 2
Soit A E M 11 (!R) telle que A
2
= A ( * ), avec A * /1 1 •
Supposons A inversible, d'inverse A1 ; en multipliant membre à membre la relation ( *)
par A1 , on obtient :
A
2 A1 = AA- 1 = / 11
soit : A = T,,, ce qui est contraire à l'hypothèse. La matrice A n 'est donc pas inversible.
Soit a un réel quelconque, supposé non nul. On considère la matrice carrée d'ordre n
(n;;,,, 2):
0 a . . . . . . a
a 0
A=
0 a
a . . . . . . a 0