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Il
Il
14.b) 6.,,(- a) = n k= l
6- 11 (- b) = n (Xk - b) (déterminants de mat1iCeS triangulaires)
k= I
Il
Pour simplifier, introduisons la fonction : f : X H n (Xk - x).
k= I
Par suite : - a a + fJ =/(a) , - ab + fJ = f(b), ce qui conduit à:
(b - a){J = b f(a) - a f(b)
(b- a)œ = f(a) - f(b)
etdonc:{J = bf(a)-af(b) ,œ= f(a)-f(b) .
b-a
b-a
MJW Soit (x 1 , ... , x,,) une famille de réels, et x E R On considère les déterminants :
1
1
1
X1
V,1(X1 , . . . , x 11 ) = xT
XJ
x2
1
x.1- I r_r- 1
1
2
l
l
1
X2 ... X11-I
X
x~ .. . x~_ 1 x
2
.~1 - I 11- I
.. 11- l .~1- I
..tl
X2
. . . ..t11-I. ;\.
x,.,
2
x,,
.x'
1- I
. . . n
15.a) En développant V 11 (x) par rapport à sa dernière colonne, on obtient un polynôme de degré
au plus égal à n - l en x, de coefficient dominant a priori égal à V,i(x 1 , ... , x 11 _ 1 ).
15.b) On suppose, da~ toute l~suite, que les.!_;, i = l, . . . , n, sont deux à deux distincts. On
remarque que : V,,(x 1 ) = V,,(x 2 ) = . . . = V,,(x,,_ 1 ) = 0 (i l y a deux colonnes identiques).
x 1 , • • • , x,,_ 1 sont donc racines de V 11 (x), que l'on peut donc factoriser sous la forme:
11- I
V,,(x) = Cu (x - X1) . . . (x - Xn-1) = C,1 n (x - X;), où C,, est une constante réelle.
i=I
15.c) La constante C 11 est le coeffi cient en ~cteur du terme de degré n - 1 de V 11 (x) . On l'obtient
directement lorsque l'on développe V 11 (x) par rapport à la dernière colonne:
l
l
1
Xt
C 11 = Vn-1(X1, ... , X 11 -1) = xT
x2 ... Xn- 1
~ .. . x~-1
Par récurrence, on en déduit donc :
.~1-2
,11-2
.,.11-2
..tl
X2
. . . ,\11- I
11-I
V 11 _1(Xi, ... , x,,_i) n (x,, - X;)
i= I.
11-2
11- I.
= V11_2(X1, . . . , X11 -2) n (X11- I -X;) n (x,,-x;)
i= I
i=I
=
2
n- 1
=
V2(x1,x2) n(x3 - x;) ... n(x,, - x;)
i=J
i= I
=
n (Xj - X;)
l ,;;.i 333
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