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12.d) Pour calculer A k, il suffit d'appliquer la relation ( *) à A :
Ak = P(A) Q(A) + œ A+ fJ T" = œ A + fJ 111
•••
0
n - 1
0
n - 1 0
=
l 0
n- 1
0
1
1
(n - 1)
0
=
1
1 0
1 0
0
= (n - !)
1 - 1
1
1 - 1
(On commence par ajouter les colonnes 2 à n à la première, par n-linéarité, on factorise par n - 1,
puis on retranche la première colonne à toutes les autres)
0 1 . . . 1
Ainsi:
0
= ( - 1)'1 - I (n - 1).
1 ... 1 0
Mii n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2, soient a et b deux réels distincts, non
nuls, et (x 1 , ••• , x 11 ) une famille de réels.
Pour tout réel x, on pose :
14.a)
332
X1 +X a+ X
a + X
b + X X2 + X
.il 11 (x) =
a + x
b + X
b +X X 11 +X
Par n-linéarité du déterminant par rapport à ses lignes, la valeur de .il 11 (x) reste inchangée
si on retranche la première ligne à toutes les autres :
XJ + X a + X
a+x
Ll 11 (X) =
b - xi x2 - a
0
0
b - xi
b - axn - a
En développant alors ce déterminant par rapport à la première ligne, on obtient donc une
somme de polynômes de degré au plus égal à 1, puisque les lignes 2 à n ne comportent
plus de x : x H .iln(x) est une fonction affine de x, c'est-à-dire de la forme x Ha x + {J.