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Les matrices N et h commutant, la formule du binôme de Newton conduit à :
J'l
Il
(
)
M" = (N + /3)'
1
= I c~ Nk + !3 = I c~ N + !3, où, pour tout k E { 1, ... , n} : c~ = z .
k=I
k=I
n
11
Or : 2
11 = ( 1 + l Y1 = I c~ = I c~ + L
k=O
k= I
Par suite: M
11
= (N + !3)" = (2" - 1) N + !3.
Mf# Soit a un réel quelconque, supposé non nul. On considère la matiice catTée d'ordre n
(n;;;:. 2):
12.a) On a : A
2
=
A=
0 a .. . ... a
a 0
0 a
a .. .. .. a 0
(n - l)a 2 (n - 2)a 2 ...
(n - 2)a 2
(n - 2)a 2 (n- l)a 2 " ·
(n - 2) a 2
" . (n - 1) a 2 (n - 2) a 2
... (n - 2)a 2 (n- l)a 2
A 2 s'écrit donc sous la forme: A 2 = 1l A+µ ! 11 avec:
À. = (n - 2) a , µ = (n - 1) a
2
12.b) On considère le polynôme P tel que: P(X) = X 2 - (n - 2) a X - (n - 1) a 2 . D 'après ce qui
précède
1 :
A
2 - (n - 2) A - (n - 1) a
2 ln = P(A) = 0
12.c) Soit k un entier naturel non nul. Effectuons la division euclidienne de Xk par P : soit Q le
polynôme quotient. Comme Pest de degré 2, le reste de cette division est donc de degré
strictement inférieur à 2, c'est-à-dire de degré au plus égal à l, et donc de la forme :
a X+ [J, où a et f3 sont deux réels. On a donc bien : Xk = P(X) Q(X) +a X + {J.
P admet pour racines évidentes - a, (n - l)a; il suffit alors de prendre pour valeurs
successives de X - a et (n - 1) a :
soit :
{
(- a / =
P(- a)Q(- a) - aa + [J
((n - l)a)k = P((n - l)a) Q((n - l)a) + a(n - l)a+[J
{
(- ai
= - aa+f3
((n - l)af = a(n - l)a +/3
puisque P s'annule en - a et (n - 1) a. La résolution du système conduit à :
k - 1 (n - l)k - (-1)*
œ=a
n
f3=ak (- l)k(n - l )+(n-1)*
n
l. Attention! ne pas oublier le ln en facteur de (n - 1) a
2 , car sinon la relation ne serait pas correcte,
puisque l' on ne peut pas mélanger des nombres et des matrices. C'est une question d'homogénéité, comme
en physique. Une relation mathématique relie des grandeurs de même nature, donc, de même que l'on ne
peut comparer 331
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- n:s
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